Vibra: probs Finn
Introducción
Este es un apartado con algunos ejercicios extraídos del libro de Alonso y Finn, 'Física Volumen I: Mecánica'. Mautona97 (discusión) 16:46 16 jun 2020 (CDT)
EJERCICIO 12.1
Una rueda de 30 cm de radio tiene una manguera a su borde. La rueda gira a $0.5 \frac{rev}{seg}$ con su eje de posición horizontal, suponiendo que los rayos de sol incidan verticalmente sobre la Tierra, la manigueta está teniendo un movimiento armónico simple, encontrar: a)Periodo de oscilación de la sombra b)La frecuencia c)Amplitud d)Escribir las ecuaciones que expresan su desplazamiento en función del tiempo, suponer la fase inicial cero.
Solución: Datos: $ ω=0.5 \frac{rev}{seg}$, Radio= 30 cm
a) Para encontrar la frecuencia tenemos \[ T=\frac{2\pi}{ω} \]
Tenemos que sustituir pero al momento de convertir $\frac{rev}{seg}$ a $\frac{rad}{seg}$ multiplicarmos por $2\pi$
\[ T=\frac{2\pi}{0.5*2\pi\frac{rad}{seg}} \]
\[ T=2s \]
b) Para la frecuencia tenemos que \[ T=\frac{1}{f} \] Por lo tanto \[ f=\frac{1}{T} \] Sustituyendo \[ f=\frac{1}{2s} \]
\[ f=0.5 Hz \]
c) Aquí simplemente tenemos que entender que podemos ver el radio como la Amplitud de la onda por lo tanto
A=30cm
d) Para las ecuaciones de movimiento sabemos \[ x(t)= Asen(ωt+\varphi) \] Sustituyendo los valores que ya conocemos donde $\omega$=$ \pi \frac{rad}{s}$ Finalmente obtenemos \[ x(t)= 0.3sen(\pi*t) \] Donde la fase inicial es cero ($\varphi$=0)
LeonardoFR (discusión) 18:50 25 jun 2020 (CDT)
EJERCICIO 12.5
Una partícula cuya masa es de 1 gramo vibra con movimiento armónico simple de 2mm de aplitud. Su aceleración en el extremo de su recorrido es de $8*10^{3}ms^{-2}$. Calcula la frecuencia del movimiento y la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio y cuando la elongación es de 1.2 mm. Escribir la ecuación que describe la fuerza en función de la posición y el tiempo.
Solución.
i) Para calcular la frecuencia, se tiene que
\[ m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx, \] podemos despejar a k para obtener posteriormente la frecuencia a partir de la frecuencia angular y la masa. Por lo tanto:
\[ k=-\frac{ma}{x}\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{-\frac{ma}{x}}{m}}=\sqrt{-\frac{a}{x}}=\sqrt{\frac{8*10^{3}\frac{m}{s^{2}}}{2*10^{-3}m}}=2*10^{3}\,{rad}*{s} ^{-1}. \]
Así la frecuencia está dada por
\[ f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{1}{\pi}*10^{3}\,{s}^{-1}. \]
ii) La velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio puede ser calculada a partir de la energía potencial inicial, dado que
\[ E_{P}=\frac{1}{2}kx^{2} \]
y en la posición de equilibrio
\[ E_{P}=E_{k}\Rightarrow\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}, \]
por lo tanto
\[ v_{f}=\sqrt{\frac{kx^{2}}{m}}\Rightarrow v_{f}=\sqrt{\frac{(4*10^{3}\frac{kg}{s^{2}})(2*10^{-3}{m})^{2}}{1*10^{-3}{kg}}}=4\frac{m}{s}. \]
Ahora bien, en la posición cuando la elongación es de 1.2 mm, la velocidad se puede observar como:
\[ \frac{1}{2}m(v_{f}^{2}-v_{0}^{2})=-\frac{1}{2}kx_{f}^{2}, \]
se tiene entonces
\[ v_{f}=\sqrt{v_{0}^{2}-\frac{k}{m}x^{2}}=\sqrt{v_{0}^{2}-\omega^{2}x^{2}}=\sqrt{(16\frac{m}{s})^{2}-(2*10^{3}{s^{-1}})^{2}(1.2*10^{-3}{m})^{2}}=3.2\,\frac{m}{s}. \]
iii) Para la ecuación de la fuerza, simplemente se tiene que, dada la función de posición
\[ x=A\sin(\omega t+\alpha)\Rightarrow a=-\omega^{2}A\sin(\omega t+\alpha), \]
por la ecuación de Newton
\[ F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=m(-\omega^{2}A\sin(\omega t+\alpha))=-kA\sin(\omega t+\alpha). \]
Sustituyendo todos los valores conocidos, concluimos que
\[ F=-8\sin((2*10^{3}{s^{-1}})t+\alpha)\,N. \] Mautona97 (discusión) 16:46 16 jun 2020 (CDT)
EJERCICIO 12.15
Un bloque de madera cuya densidad con respecto al agua es $\rho$ tiene dimensiones a,b y c. Mientras está flotando en el agua con el lado a en la posición vertical, se empuja hacia abajo y se suelta. Encontrar el periodo de oscilación resultante.
Solución.
Sabemos que la frecuencia del movimiento está dada por
\[ f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}, \]
por lo tanto, el periodo estará dado por
\begin{equation} P=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}. \end{equation}
De hidrostática se sabe que la magnitud de la fuerza de empuje de un fluido está dada por
\[ B=\rho_{f}gV_{d}, \]
donde $\rho_{f}$ es la densidad del fluido en cuestión, g es la aceleración de la gravedad y $V_{d}$ es el volumen desplazado por el cuerpo. Si igualamos dicha fuerza a la que produce un resorte, se tendría que
\[ \rho_{f}gV_{d}=-kx\Rightarrow k=-\frac{\rho_{f}gV_{d}}{x}. \]
Sustituyendo en la ecuación (1) se tiene que:
\begin{equation} P=2\pi\sqrt{\frac{m}{-\frac{\rho_{f}gV_{d}}{x}}}=2\pi\sqrt{\frac{\rho\rho_{f}V_{d}}{-\frac{\rho_{f}gV_{d}}{x}}}=2\pi\sqrt{-\frac{\rho x}{g}}, \end{equation}
dado que el desplazamiento x es en realidad -a, podemos sustituir en (2) como
\[ P=2\pi\sqrt{-\rho\frac{-a}{g}}=2\pi\sqrt{\rho\frac{a}{g}}. \] Por lo tanto el periodo está dado por \[ P=2\pi\sqrt{\rho\frac{a}{g}}. \]
Mautona97 (discusión) 17:54 16 jun 2020 (CDT)
EJERCICIO 12.57
Escribir la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple sin amoritguamiento al cual se la aplica la fuerza $F=F_{0}\cos(\omega_{f}t)$. Verificar que su solución es
\[ x=[\frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})}]\cos(\omega_{f}t). \]
Solución.
Escribimos la ecuación diferencial para los movimientos armónicos simples (sin amortiguamiento) con una fuerza oscilatoria es
\[ F_{T}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F_{0}\cos(\omega_{f}t)-kx\Rightarrow m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx=F_{0}\cos(\omega_{f}t); \]
la cual podemos reescribir como
\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t)\Rightarrow\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t) \]
una vez definida, calculamos la segunda derivada respecto del tiempo de la función de posición como
\[ \frac{d^{2}}{dt^{2}}[\frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})}]\cos(\omega_{f}t)=-\omega_{f}^{2}[\frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})}]\cos(\omega_{f}t)=-\omega_{f}^{2}x. \]
Por lo tanto
\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t)\Rightarrow-\omega_{f}^{2}x+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t), \]
factorizando se tiene
\[ x(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t)\Rightarrow[\frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})}]\cos(\omega_{f}t)*(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t), \]
lo que comprueba que la solución dada es correcta. Mautona97 (discusión) 17:20 16 jun 2020 (CDT)
