Vibra: probs Finn

Introducción

Este es un apartado con algunos ejercicios extraídos del libro de Alonso y Finn, 'Física Volumen I: Mecánica'. Mautona97 (discusión) 16:46 16 jun 2020 (CDT)

EJERCICIO 12.5

Una partícula cuya masa es de 1g vibra con movimiento armónico simple de 2mm de aplitud. Su aceleración en el extremo de su recorrido es de $8*10^{3}ms^{-2}$. Calcula la frecuencia del movimiento y la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio y cuando la elongación es de 1.2 mm. Escribir la ecuación que describe la fuerza en función de la posición y el tiempo.

Solución.

i) Para calcular la frecuencia, se tiene que

\[ m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx, \] podemos despejar a k para obtener posteriormente la frecuencia a partir de la frecuencia angular y la masa. Por lo tanto:

\[ k=-\frac{ma}{x}\Rightarrow\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{-\frac{ma}{x}}{m}}=\sqrt{-\frac{a}{x}}=\sqrt{\frac{8*10^{3}\frac{m}{s^{2}}}{2*10^{-3}m}}=2*10^{3}\,{rad}*{s} ^{-1}. \]

Así la frecuencia está dada por

\[ f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{1}{\pi}*10^{3}\,{s}^{-1}. \]

ii) La velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio puede ser calculada a partir de la energía potencial inicial, dado que

\[ E_{P}=\frac{1}{2}kx^{2} \]

y en la posición de equilibrio

\[ E_{P}=E_{k}\Rightarrow\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}, \]

por lo tanto

\[ v_{f}=\sqrt{\frac{kx^{2}}{m}}\Rightarrow v_{f}=\sqrt{\frac{(4*10^{3}\frac{kg}{s^{2}})(2*10^{-3}{m})^{2}}{1*10^{-3}{kg}}}=4\frac{m}{s}. \]

Ahora bien, en la posición cuando la elongación es de 1.2 mm, la velocidad se puede observar como:

\[ \frac{1}{2}m(v_{f}^{2}-v_{0}^{2})=-\frac{1}{2}kx_{f}^{2}, \]

se tiene entonces

\[ v_{f}=\sqrt{v_{0}^{2}-\frac{k}{m}x^{2}}=\sqrt{v_{0}^{2}-\omega^{2}x^{2}}=\sqrt{(16\frac{m}{s})^{2}-(2*10^{3}{s^{-1}})^{2}(1.2*10^{-3}{m})^{2}}=3.2\,\frac{m}{s}. \]

iii) Para la ecuación de la fuerza, simplemente se tiene que, dada la función de posición

\[ x=A\sin(\omega t+\alpha)\Rightarrow a=-\omega^{2}A\sin(\omega t+\alpha), \]

por la ecuación de Newton

\[ F=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=m(-\omega^{2}A\sin(\omega t+\alpha))=-kA\sin(\omega t+\alpha). \]

Sustituyendo todos los valores conocidos, concluimos que

\[ F=-8\sin((2*10^{3}{s^{-1}})t+\alpha)\,N. \] Mautona97 (discusión) 16:46 16 jun 2020 (CDT)

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EJERCICIO 12.15

Un bloque de madera cuya densidad con respecto al agua es $\rho$ tiene dimensiones a,b y c. Mientras está flotando en el agua con el lado a en la posición vertical, se empuja hacia abajo y se suelta. Encontrar el periodo de oscilación resultante.

Solución.

Sabemos que la frecuencia del movimiento está dada por

\[ f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}, \]

por lo tanto, el periodo estará dado por

\begin{equation} P=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}. \end{equation}

De hidrostática se sabe que la magnitud de la fuerza de empuje de un fluido está dada por

\[ B=\rho_{f}gV_{d}, \]

donde $\rho_{f}$ es la densidad del fluido en cuestión, g es la aceleración de la gravedad y $V_{d}$ es el volumen desplazado por el cuerpo. Si igualamos dicha fuerza a la que produce un resorte, se tendría que

\[ \rho_{f}gV_{d}=-kx\Rightarrow k=-\frac{\rho_{f}gV_{d}}{x}. \]

Sustituyendo en la ecuación (1) se tiene que:

\begin{equation} P=2\pi\sqrt{\frac{m}{-\frac{\rho_{f}gV_{d}}{x}}}=2\pi\sqrt{\frac{\rho\rho_{f}V_{d}}{-\frac{\rho_{f}gV_{d}}{x}}}=2\pi\sqrt{-\frac{\rho x}{g}}, \end{equation}

dado que el desplazamiento x es en realidad -a, podemos sustituir en (2) como

\[ P=2\pi\sqrt{-\rho\frac{-a}{g}}=2\pi\sqrt{\rho\frac{a}{g}}. \] Por lo tanto el periodo está dado por \[ P=2\pi\sqrt{\rho\frac{a}{g}}. \]

Mautona97 (discusión) 17:54 16 jun 2020 (CDT)

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EJERCICIO 12.57

Escribir la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple sin amoritguamiento al cual se la aplica la fuerza $F=F_{0}\cos(\omega_{f}t)$. Verificar que su solución es

\[ x=[\frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})}]\cos(\omega_{f}t). \]

Solución.

Escribimos la ecuación diferencial para los movimientos armónicos simples (sin amortiguamiento) con una fuerza oscilatoria es

\[ F_{T}=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F_{0}\cos(\omega_{f}t)-kx\Rightarrow m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx=F_{0}\cos(\omega_{f}t); \]

la cual podemos reescribir como

\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t)\Rightarrow\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t) \]

una vez definida, calculamos la segunda derivada respecto del tiempo de la función de posición como

\[ \frac{d^{2}}{dt^{2}}[\frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})}]\cos(\omega_{f}t)=-\omega_{f}^{2}[\frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})}]\cos(\omega_{f}t)=-\omega_{f}^{2}x. \]

Por lo tanto

\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t)\Rightarrow-\omega_{f}^{2}x+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t), \]

factorizando se tiene

\[ x(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t)\Rightarrow[\frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})}]\cos(\omega_{f}t)*(\omega_{0}^{2}-\omega_{f}^{2})=\frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{f}t), \]

lo que comprueba que la solución dada es correcta. Mautona97 (discusión) 17:20 16 jun 2020 (CDT)

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