Vibra: amortiguamiento
Oscilador levemente amortiguado
El oscilador amortiguado, es un modelo físico que nos permite estudiar fenómenos oscilatorios cuando existe una fuerza de fricción. Dicha fuerza de fricción, generalmente es debida al paso del objeto por un fluído, y tiene un comportamiento de tipo Stokes, es decir:
$F_f=bv$
Donde F_f es la fuerza de fricción, $b$ es la constante de amortiguamiento del fluido y $v$ es la velocidad del objeto de estudio.\\ Nosotros, para el caso, estudiaremos una masa $m$ con un solo grado de libertad, la cual estará acoplada a un resorte con constante restitutiva $k$; el sistema se encontrará en un fluido con constante de amortiguamiento $b$. Por la segunda relación de Newton, sabemos que la suma de fuerzas será:
$m\ddot{x}=-kx+b\dot{x}$\\nde $\dot{x}=\frac{dx}{dt}$\\ De donde se deduce:\\ $$m\ddot{x}-b\dot{x}+kx=0$$\\ Que es la ecuación canónica del oscilador amortiguado. A continuación se obtendrá la solución de la ecuación diferencial lineal homogenea de segundo orden.\\ Sea $r$ elevado a la potencia del grado de cada una de las derivadas. Sustituímos en la ecuación diferencial anterior:\\ $r^2 -br+k=0$\\ Esto implica...\\ $r=(\frac{b\pm \sqrt{b^2-4mk} }{2m})$\\ Dado que el amortiguamiento es leve se puede observar que $b^2 - 4mk < 0$, lo que implica que la solución de $r$ será compleja. Para este tipo de casos, podemos proponer la siguiente solución para la ecuación diferencial\\ $x(t)=(e^\frac{b\cdot t}{2m})[C_1 \cos(\frac{b\pm \sqrt{(b^2)-4mk} }{2m} t)+C_2 \sin(\frac{b\pm \sqrt{b^2-4mk} }{2m} t)] $\\
Ahora hacemos el siguiente cambio de variable:\\
$\omega=(\frac{b\pm \sqrt{b^2-4mk} }{2m})$\\ De esta manera tenemos... $$x(t)=(e^\frac{b\cdot t}{2m})[C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)]$$\\ Donde $C_1$ y $C_2$ son constantes de integración.\\ A continuación procedemos a aplicar las condiciones iniciales. Como primera condición inicial, sabemos que, al tiempo $t=0$, el resorte se encuentra estirado con una amplitúd máxima $A_0$, es decir, $x(0)=A_0$. Igualmente como segunda condición inicial, supondremos que el resorte es soltado desde el reposo cuando éste se encuentra en la amplitud máxima; en otras palabras: $\dot{x}(0)=0$.\\ Aplicando la primer condición inicial tenemos:\\ $A_0=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)$\\ Por lo tanto...\\ $C_1=A_0$;\\ Para aplicar la segunda condición inicial, es necesario derivar a $x(t)$:\\ $\dot{x}=\frac{b}{2m}e^\frac{b\cdot t}{2m}[A_0\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)]-\omega A_0\sin(\omega t)+\omega C_2\cos(\omega t)$\\ Aplicando la segunda condición inicial tenemos:\\ $0=\frac{b}{2m}[A_0\cos(0)+C_2\sin(0)]-\omega A_0\sin(0)+\omega C_2\cos(0)$\\ $=\frac{b}{2m}(A_0)+\omega C_2$; \quad Despejamos $C_2$:\\ $C_2=\frac{-b}{2\omega m}A_0$\\ Sustituimos, finalmente, los valordes de $C_1$ y $C_2$ en la ecuación de $x(t)$ $$x(t)=e^\frac{b\cdot t}{2m}[A_0\cos(\omega t)+\frac{b}{2\omega m}A_0\sin(\omega t)]$$ Siendo esta la solución al problema del oscilador levemente amortiguado.\\ Cabe mencionar que existen otras formas de obtener la solución al problema del oscilador levemente amortiguado, una de ellas es proponer como solución el Ansatz.
