Vibra: amortiguamiento

Cuando nos referimos a amortiguamiento, hablamos de la fricción o pérdida de energía que un sistema físico puede tener. Generalmente, cuando describimos un sistema físico, tendemos a sobresimplificarlo despreciando términos como la fricción; si bien esto ofrece una aproximación que en muchos casos es útil, la naturaleza tiende a comportarse de un modo más intrincado y sutil. Hacer aproximaciones despreciando la fricción conlleva consigo los siguientes 4 problemas:

$1.-$ Al no tener fuerzas fisipativas, el sistema puede moverse indefinidamente, cosa que en los fenómenos mecánicos ondulatorios no sucede, ya que siempre existe una fricción en el interior del muelle, cuerda u objeto con el que se esté trabajando.

$2.-$ Despreciar la fricción implica negar la interacción que se produce cuando dos cuerpos están en contacto; en el caso de los osciladores, ya sea la cuerda o el muelle, tendrán una fricción interna que disipará la energía.

$3.-$ Despreciar la fricción implica tener resultados (según el problema) poco fieles a la realidad, cosa que puede implicar errores de cálculo en problemas que requieran de la conservación de la energía como construcciones de obras, la producción de maquinarias industriales, etcétera.

$4.-$ La fricción implica una pérdida de energía (ya que es una fuerza no conservativa); esta energía se pierde en forma de calor y el calor dilata los materiales, cosa que puede afectar el resultado de algún procedimiento ingenieril. De esta manera, es evidente que, hacer los cálculos despreciando la fricción, conlleva un sesgo que puede ser arriesgado según el problema que se trate. Por eso mismo, aquí se desarrollan algunas ideas básicas del amortiguamiento.

Solución del oscilador levemente amortiguado

El oscilador amortiguado, es un modelo físico que nos permite estudiar fenómenos oscilatorios cuando existe una fuerza de fricción. Dicha fuerza de fricción, generalmente es debida al paso del objeto por un fluido, y tiene un comportamiento de tipo Stokes, es decir,

$F_f=-bv$

Donde $F_f$ es la fuerza de fricción, $b$ es la constante de amortiguamiento del fluido y $v$ es la velocidad del objeto de estudio. Nótese que el signo de $b$ es negativo, ya que la fuerza de fricción va en dirección contraria al movimiento.

Nosotros, para el caso, estudiaremos una masa $m$ con un solo grado de libertad, la cual estará acoplada a un resorte con constante restitutiva $k$; el sistema se encontrará en un fluido con constante de amortiguamiento $b$. Por la segunda relación de Newton, sabemos que la suma de fuerzas será,

$m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}$, donde $\dot{x}=\frac{dx}{dt}$

De donde se deduce,

$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$

Que es la ecuación canónica del oscilador amortiguado.

A continuación se obtendrá la solución de la ecuación diferencial lineal homogenea de segundo orden. Sea $r$ elevado a la potencia del grado de cada una de las derivadas. Sustituímos en la ecuación diferencial anterior: $m r^2+br+k=0$; esto implica...

$r=(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4mk} }{2m})$.

Dado que el amortiguamiento es leve se puede observar que $b^2 - 4mk < 0$, lo que implica que la solución de $r$ será compleja. Para este tipo de casos, podemos proponer la siguiente solución para la ecuación diferencial,

$x(t)=(e^\frac{-b\cdot t}{2m})[C_1 \cos(\frac{-b\pm \sqrt{(b^2)-4mk} }{2m} t)+C_2 \sin(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4mk} }{2m} t)] $

Ahora hacemos el siguiente cambio de variable

$\omega=(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4mk} }{2m})$; de esta manera tenemos...

$x(t)=(e^\frac{-b\cdot t}{2m})[C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)]$

donde $C_1$ y $C_2$ son constantes de integración.

A continuación procedemos a aplicar las condiciones iniciales. Como primera condición inicial, sabemos que, al tiempo $t=0$, el resorte se encuentra estirado con una amplitud máxima $A_0$, es decir, $x(0)=A_0$. Igualmente como segunda condición inicial, supondremos que el resorte es soltado desde el reposo cuando éste se encuentra en la amplitud máxima; en otras palabras: $\dot{x}(0)=0$. Aplicando la primer condición inicial tenemos,

$A_0=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)$; Por lo tanto $C_1=A_0$;

Para aplicar la segunda condición inicial, es necesario derivar a $x(t)$, como se muestra a continuación

$\dot{x}=\frac{-b}{2m}e^\frac{-b\cdot t}{2m}[A_0\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)]-\omega A_0\sin(\omega t)+\omega C_2\cos(\omega t)$

Aplicando la segunda condición inicial tenemos,

$0=\frac{-b}{2m}[A_0\cos(0)+C_2\sin(0)]-\omega A_0\sin(0)+\omega C_2\cos(0)$. Simplifico,

$=\frac{-b}{2m}(A_0)+\omega C_2$; Despejamos $C_2$:

$C_2=\frac{b}{2\omega m}A_0$

Sustituimos, finalmente, los valores de $C_1$ y $C_2$ en la ecuación de $x(t)$

$x(t)=e^\frac{-b\cdot t}{2m}[A_0\cos(\omega t)+\frac{b}{2\omega m}A_0\sin(\omega t)]$

Siendo esta la solución al problema del oscilador levemente amortiguado.

Cabe mencionar que existen otras formas de obtener la solución al problema del oscilador levemente amortiguado, una de ellas es proponer como solución el Ansatz en la ecuación diferencial canónica del oscilador amortiguado.

Aarón patrick murphy lorea (discusión) 21:37 29 jun 2020 (CDT)

Mfgwi (discusión) 16:41 25 jun 2020 (CDT)