Vibra: Osciladores acoplados

A la naturaleza le gustan las oscilaciones periódicas . Existen determinados sistemas que tiendes a interactuar entre sí hasta acoplar el ritmo de sus movimientos. Los comportamientos oscilatorios son ubicuos en la naturaleza en sistemas de toda índole, como en cuerpos astronómicos tales como asteroides, satélites, planetas y estrellas; en sistemas biológicos, tanto a nivel orgánico como a nivel bioquímico; en reacciones químicas; en sistemas mecánicos; en circuitos electrónicos; etc.

ANTECEDENTES

Christiaan Huygens (1629-1695) fue un astrónomo, físico, matemático e inventor neerlandés

En 1665 Christiaan Huygens (1629-1695) hace observaciones importantes. Mientras permanecía en cama por efectos de una enfermedad, observó que un par de péndulos, colgados en la pared de su cuarto, se sincronizaban de forma misteriosa, es decir, después de un tiempo de iniciado sus movimientos, estos alcanzaban un estado en que se movían establemente en direcciones opuestas "con una sincronía tal que no se observaba el menor retraso de uno con respecto del otro y el sonido de los péndulos siempre se escuchaba simultáneamente. Aún más, si esta concordancia se perturbaba por alguna interferencia, sola se restablecía después de un tiempo corto". Hasta donde se sabe, este fue el primer reporte del fenómenos de sincronización. El mismo Huygens utilizo la palabra simpatía (sympathy) para describir este fenómeno. Ahora es sabido que este fenómeno tiene su origen en la no linealidad de los componentes de un sistema, llevándolo a esbozar una primera explicación de los osciladores acoplados.

SISTEMA ACOPLADO ELEMENTAL

Archivo:Osciladoresarmonicos1.PNG

Figura 1: Osciladores acoplados.

Cuando se plantea la segunda ley de Newton se obtienen dos o más ecuaciones diferenciales acopladas. Tomamos como modelo el sistema de la figura 1, en el que se tendrá un sistema de dos ecuaciones diferenciales en los que las incógnitas serán $x_{1}$ y $x_{2}$, las posiciones de ambas masas. La resolución de estos sistemas es algo compleja desde el punto de vista matemático , pero se puede probar que existen modos normales de vibración, que pueden ser descritas como movimientos elementales del sistema. Un primer modo normal estará dado por las dos masas moviéndose en fase cada instante, con la misma frecuencia. El segundo modo normal estará dado por las dos partículas permanentemente en oposición de fase. En estos modos fundamentales, ambas partículas cambian el sentido de su movimiento simultáneamente. El caso más interesante es cuando una de las dos partículas, por ejemplo la partícula de masa $m_{1}$, se encuentra en reposo, en su posición de equilibrio y se hace mover a la otra partícula, con masa $m_{2}$, dándole una elongación inicial. Al cabo de un tiempo, la partícula de masa $m_{2}$, que estaba en movimiento, ira perdiendo amplitud, mientras que la partícula con masa $m_{1}$ ira ganando amplitud. Luego todo el sistema volverá a sus condiciones iniciales y se repetirá todo el proceso. Desde el punto de vista energético, podemos decir que la energía de la oscilación se transmite de un oscilador al otro, a través del acoplamiento. La energía total del sistema está dada por la energía que tienen los dos osciladores en cada instante. La energía de un oscilador se puede transmitir completamente al otro, siendo la suma de ambas energías siempre constante.

Ecuaciones de movimiento

Archivo:Osciladoresarmonicos2.png

Figura 2: Dos osciladores armónicos acoplados de masa m.

Supongamos que tenemos 2 partículas de masas iguales $m$, situadas sobre una superficie horizontal sin rozamiento, en los extremos de dos muelles de idéntica constante elástica $k$, tal como en la figura 2. El acoplamiento se efectúa uniendo las dos partículas mediante un muelle de constante $k_{c}$. Llamaremos $x_{1}$ y $x_{2}$ a los desplazamientos de cada una de las partículas a partir de su posición de equilibrio, medidos como positivos cuando están a la derecha.

Aplicando la segunda Ley de Newton a cada una de las partículas, obtenemos las ecuaciones de movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo grado:

\begin{equation} m \frac{d^{2} x_{1}}{dt^2} = -kx_{1} + k_{c}(x_{2}-x_{1}) \end{equation}

y

\begin{equation} m \frac{d^{2} x_{1}}{dt^2} = -kx_{2} - k_{c}(x_{2}-x_{1}) \end{equation}

Sumando y restando las dos ecuaciones diferenciales tenemos, las ecuaciones diferenciales de las oscilaciones libres:

\begin{equation} \frac{d^{2}(x_{1} + x_{2} )}{dt^2} + \frac{k}{m}(x_{1} + x_{2}) = 0 \end{equation}

y

\begin{equation} \frac{d^{2}(x_{1} - x_{2})}{dt^2} + \frac{k + 2k_{c}}{m}(x_{1} - x_{2}) = 0 \end{equation}

Así las ecuaciones de los movimientos armónicos simples de frecuencias:

\begin{equation} \omega_{1}^2 = \frac{k}{m} \end{equation}

y

\begin{equation} \omega_2^2 = \frac{k+2k_{c}}{m} \end{equation}

Las soluciones de las ecuaciones (1) y (2), son respectivamente:

\begin{equation} x_{1} + x_{2} = A \cos{(\omega_{1}t)} + B \sin{(\omega_1t)} \end{equation}

y

\begin{equation} x_1 - x_2 = A \cos{(\omega_2t)} + B \sin{(\omega_2t)} \end{equation}

Despejando