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3.9 A critically damped system is set into motion by displacing the mass a distance \(A_{1}\) to the right and then throwing it back towards its equilibrium position with initial speed \(\omega_{0}A_{1}\). Show that the resulting motion is given by \(\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) \)

Un sistema críticamente amortiguado se pone en movimiento con un desplazamiento de la masa a una distancia \(A_{1}\) a la derecha y luego se lanza hacia su posición de equilibrio con velocidad inicial \(\omega_{0}A_{1}\). Demostre que el movimiento resultante está dada por \(\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) \)

De la ecuación 3.19 del libro se tiene que

\(\displaystyle{\psi(t)=C_{1}e^{-\omega_{0}t}+c_{2}\omega_{0}te^{-\omega_{0}t}}\)

De la condición inicial tenemos que

\(\displaystyle{\psi(0)=C_{1}=A_{1}}\)

Por lo que la posición queda dada por

\(\displaystyle{\psi(t)=A_{1}e^{-\omega_{0}t}+C_2\omega_{0}te^{-\omega_{0}t}}\)

En consecuencia la velocidad esta determinada por

\(\displaystyle{\dot{\psi}(t)=-\omega_{0}A_{1}e^{-\omega_{0}t}+C_{2}\omega_{0}e^{-\omega_{0}t}-\omega_{0}^2C_{2}te^{-\omega_{0}t}}\)

De la segunda condición inicial se tiene que

\(\displaystyle{\dot{\psi}(0)=-\omega_{0}A_{1}+C_{2}\omega_{0}=-\omega_{0}A_{1}}\)



la segunda condición inicial es que la partícula regresa al equilibrio con una rapidez de \(\omega_{0}A_{1}\), sin embargo como va hacia la izquierda le ponemos un signo negativo

\(\dot{\psi}(0)=-A_{1}\omega_{0}+B=-\omega_{0}A_{1} \)

con lo que tenemos \(B=0 \)

así la solución es

\(\psi(t)=A_{1}\exp(-\omega_{0}t) \)

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 22:38 2 jul 2013 (CDT)