1.4) Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a\in \mathbb{R}
demuestre que =-Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega(a)
.
Y si , demuestre que =
Demostración
Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega=a=(a,0)
, entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega (-a)
=-a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega(-a)
=
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega (a^{-1})
=
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega (a^{-1})
=
=Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega(a)^{-1}
Sean
Demostrar que:
a)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ||z||=||\overline{z}||
Demostración
Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{z}=a-ib\qquad y\qquad z=a+ib
entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore \qquad ||z||=||\overline{z}||
b)
Demostración
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ||zw||^2=(zw)(\overline{zw})
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore\qquad ||zw||=||z||||w||
c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad ||z+w||\leq ||z||+||w||
Demostración
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ||z+w||^2=(z+w)(\overline{w+z})
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad ||z+w||^2\leq||z||^2+2||z||||w||+||w||^2
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore\qquad ||z+w||\leq||z||+||w||
d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ||z-w||\geq||z||-||w||
Demostración
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ||z||\leq||z-w||+||w||
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore\qquad ||z||-||w||\leq||z-w||
Si z=a+ib, demuestre que
Demostración
a) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \qquad \frac{z+\overline{z}}{2}= \frac{a+ib+(a-ib)}{2}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{z+\overline{z}}{2}= \frac{2a}{2}
b)
LEYES DE MORGAN
- 1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (A \cup B)^C=A^C \cap B^C
- Demostración
- Sea un x arbitrario del conjunto universal, entonces:
-
- al ser x arbitrario
- 2)
- Demostración
- Sea un x arbitrario del conjunto universal, entonces:
-
- al ser x arbitrario
1.18 Describa los siguientes subconjuntos de
a)
Solución
Sea , z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0.
la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0
b)
Solución
Sea , z=a+ib. Si la parte , entonces
la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical
c)
Solución
Sea y z=a+ib, entonces
|z-1|=|a+ib-1|
||
Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2
d)
Solución
Sea y z=a+ib, entonces
|z-1|=|a+ib-1|>2
||>2
> 4
Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2
e)
Solución
Sea y z=a+ib, como
b>0 y
f) ,
Solución
Sea y z=a+ib, como
b>0 y , , entonces
hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1
1.35 Demuestre que si es convergente, entonces la sucesión converge a 0.La afirmación recíproca es falsa: considere la serie armónica
Demostración:
Para k grande entonces:
2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas
- Solucion:
- Sea donde:
- Derivando parcialmente:
:
- Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas
Solucion:
Entonces:
- Si z=0
- Si z \ne 0
-
- Si tenemos:
- Si entonces:
- como