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| 1.4) Si <math>a\in \mathbb{R}</math> demuestre que <math>\omega(-a)</math>=-<math>\omega(a)</math>. | | 1.4) Si <math>a\in \mathbb{R}</math> demuestre que <math>\omega(-a)</math>=-<math>\omega(a)</math>. |
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| Y si <math>a\neq 0</math>, demuestre que <math>\omega (a^-1)</math>=<math>\omega(a)^-1</math> | | Y si <math>a\neq 0</math>, demuestre que <math>\omega (a^{-1})</math>=<math>\omega(a)^{-1}</math> |
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| Demostración | | Demostración |
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| hay una circunferencia con '''centro''' en '''(0,0)''' y '''radio 1''' | | hay una circunferencia con '''centro''' en '''(0,0)''' y '''radio 1''' |
| <math>\therefore</math><math>z\in</math><math>(-\infty,-1)</math><math>\bigcup</math> <math>(1,\infty)</math> | | <math>\therefore</math><math>z\in</math><math>(-\infty,-1)</math><math>\bigcup</math> <math>(1,\infty)</math> |
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| | '''1.35 Demuestre que si <math>\sum_{n=0}^{\infty} z_{n}</math> es convergente, entonces la sucesión <math>\{z_{n}\}</math> converge a 0.La afirmación recíproca es falsa: considere la ''serie armónica'' <math> \sum_{n=0}^{\infty} 1/n </math>''' |
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| | Demostración: |
| | Para k grande <math> a_{k}=S_{k}-S_{k-1} </math> entonces: |
| | <math> \lim_{k \to \infty} a_{k}= \lim_{k \to \infty} (S_{k}-S_{k-1}) </math> |
| | <math> \textrm{Si S es suma de la serie } \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \textrm{ entonces } \lim_{k \to \infty}S_{k}=S</math> |
| | <math> \textrm{ donde }\lim_{k\to\infty}a_{k} = \lim_{k \to \infty} (S_{k}-S_{k-1}) =S-S=0</math> |
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| | '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>''' |
| | :Solucion: |
| | :Sea <math> f(z)=z^92 \Rightarrow {(u+iv)^2}=u^2+2iuv-v^2 </math> donde: |
| | <math>u(x,y)=x^2-y^2 \land v(x,y)=2xy</math> |
| | :Derivando parcialmente: |
| | <math> u_{x}(x,y)=2x \land u_{y}(x,y)=-2y </math> |
| | <math> v_{x}(x,y)=2y \land v_{y}(x,y)=2x </math>: |
| | :Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann |
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| | '''2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2</math>''' |
| | Solucion: |
| | <math> f(z)= |z|^2 = x^2+y^2 \textrm{ i.e. } f(x+iy)=x^2+y^2 </math> |
| | Entonces: |
| | :Si z=0 |
| | : <math> f' (0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^2}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \overline{h} = 0 </math> |
| | :Si z \ne 0 |
| | : <math> f' (z)= \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|z+h|^2-|z|^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(z+h)\overline{(z+h)}-z\overline{z}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}+h\overline{z}+h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}}{h} + \overline{z} + \overline{h} </math> |
| | ::Si <math> h\in \mathbb{R} </math> tenemos: |
| | ::: <math> \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} + z </math> |
| | ::Si <math> h=ir \textrm{ con } r>0 </math> entonces: |
| | ::: <math> \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} - z </math> |
| | :como <math> z\ne 0 \Rightarrow \overline{z} + z \ne \overline{z} - z </math> |
| | : <math> \therefore f(z) \textrm{ no es diferenciable en } z\ne 0 </math> |
1.4) Si demuestre que =-.
Y si , demuestre que =
Demostración
Sea , entonces =-a
=
y
=
=
=
Sean
Demostrar que:
a)
Demostración
Sea entonces
b)
Demostración
c)
Demostración
d)
Demostración
Si z=a+ib, demuestre que
Demostración
a)
b)
LEYES DE MORGAN
- 1)
- Demostración
- Sea un x arbitrario del conjunto universal, entonces:
-
- al ser x arbitrario
- 2)
- Demostración
- Sea un x arbitrario del conjunto universal, entonces:
-
- al ser x arbitrario
1.18 Describa los siguientes subconjuntos de
a)
Solución
Sea , z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0.
la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0
b)
Solución
Sea , z=a+ib. Si la parte , entonces
la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical
c)
Solución
Sea y z=a+ib, entonces
|z-1|=|a+ib-1|
||
Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2
d)
Solución
Sea y z=a+ib, entonces
|z-1|=|a+ib-1|>2
||>2
> 4
Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2
e)
Solución
Sea y z=a+ib, como
b>0 y
f) ,
Solución
Sea y z=a+ib, como
b>0 y , , entonces
hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1
1.35 Demuestre que si es convergente, entonces la sucesión converge a 0.La afirmación recíproca es falsa: considere la serie armónica
Demostración:
Para k grande entonces:
2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas
- Solucion:
- Sea donde:
- Derivando parcialmente:
:
- Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas
Solucion:
Entonces:
- Si z=0
- Si z \ne 0
-
- Si tenemos:
- Si entonces:
- como