Usuario discusión:Cesar

Sean $w,z\in {C}$ Demostrar que:

a)$||z||=||{\overline {z}}||$

Demostración

Sea ${\overline {z}}=a-ib\qquad y\qquad z=a+ib$ entonces

$||{\overline {z}}||={\sqrt {a^{2}+(-b)^{2}}}\qquad y\qquad ||z||={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$\therefore \qquad ||z||=||{\overline {z}}||$

b) $\qquad ||zw||=||z||||w||$

Demostración

$||zw||^{2}=(zw)({\overline {zw}})$

$||zw||^{2}=(z{\overline {w}})(w{\overline {z}})$

$\qquad ||zw||^{2}=||z||^{2}||w||^{2}$

$\therefore \qquad ||zw||=||z||||w||$

c) $\qquad ||z+w||\leq ||z||+||w||$

Demostración

$||z+w||^{2}=(z+w)({\overline {w+z}})$

$||z+w||^{2}=(z+w)({\overline {w}}+{\overline {z}})$

$||z+w||^{2}=z{\overline {z}}+z{\overline {w}})+w{\overline {z}}+w{\overline {w}}$

$\qquad ||z+w||^{2}=||z||^{2}+2Re(zw)+||w||^{2}$

$\qquad ||z+w||^{2}\leq ||z||^{2}+2||z||||w||+||w||^{2}$

$\qquad ||z+w||^{2}\leq (||z||+||w||)^{2}$

$\therefore \qquad ||z+w||\leq ||z||+||w||$

d) $||z-w||\geq ||z||-||w||$

Demostración

$\qquad ||z||=||(z-w)+w||$

$||z||\leq ||z-w||+||w||$

$\therefore \qquad ||z||-||w||\leq ||z-w||$

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Si z=a+ib, demuestre que $Re(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}\qquad y\qquad Im(z)={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}$

Demostración

a) $\qquad {\frac {z+{\overline {z}}}{2}}={\frac {a+ib+(a-ib)}{2}}$

${\frac {z+{\overline {z}}}{2}}={\frac {2a}{2}}$

$\therefore \qquad {\frac {z+{\overline {z}}}{2}}=Re(a)$

b)$\qquad {\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}={\frac {a+ib-(a-ib)}{2i}}$

${\frac {z+{\overline {z}}}{2i}}={\frac {2ib}{2i}}$

$\therefore \qquad {\frac {z+{\overline {z}}}{2i}}=Im(z)$

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LEYES DE MORGAN

1) $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$

Demostración

Sea un x arbitrario del conjunto universal, entonces:

$x\in (A\cup B)^{C}\Leftrightarrow x\notin (A\cup B)$

$\Leftrightarrow \neg (x\in (A\cup B))$

$\Leftrightarrow \neg (x\in A\vee x\in B)$

$\Leftrightarrow x\notin A\wedge x\notin B$

$\Leftrightarrow (x\in A^{C})\wedge (x\in B^{C})$

$\Leftrightarrow x\in (A^{C}\cap B^{C})$

al ser x arbitrario

$\forall x:x\in ((A\cup B)^{C})\Leftrightarrow x\in (A^{C}\cap B^{C})$

$\therefore (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$

2) $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$

Demostración

Sea un x arbitrario del conjunto universal, entonces:

$x\in (A\cap B)^{C}\Leftrightarrow x\notin (A\cap B)$

$\Leftrightarrow \neg (x\in (A\cap B))$

$\Leftrightarrow \neg (x\in A\wedge x\in B)$

$\Leftrightarrow x\notin A\vee x\notin B$

$\Leftrightarrow (x\in A^{C})\vee (x\in B^{C})$

$\Leftrightarrow x\in (A^{C}\cup B^{C})$

al ser x arbitrario

$\forall x:x\in ((A\cap B)^{C})\Leftrightarrow x\in (A^{C}\cup B^{C})$

$\therefore (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$

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1.18 Describa los siguientes subconjuntos de $\mathbb {C}$

a)${z\in \mathbb {C} :Im(z)>0}$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$, z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0. $\therefore$ la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0

b)${z\in \mathbb {C} :Re(z)>{\frac {3}{2}}}$ Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$, z=a+ib. Si la parte ${Re(z)>{\frac {3}{2}}}$, entonces $|a|>{\frac {3}{2}}$ $\therefore$ la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical $a>{\frac {3}{2}}$

c)${z\in \mathbb {C} :|z-1|\leq 2}$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|$\leq 2$ $\Rightarrow$|$a-1+b$|$\leq 2$ $\Rightarrow$$(a-1)^{2}+b^{2}$$\leq 4$

$\therefore$ Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2

d) $z\in \mathbb {C} :|z+1|>2$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|>2 $\Rightarrow$|$a-1+b$|>2 $\Rightarrow$$(a-1)^{2}+b^{2}$> 4 $\therefore$ Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2

e) $z\in \mathbb {C} :Im(z)>0,{\frac {-1}{2}}\leq Re(z)\leq {\frac {1}{2}}$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, como b>0 y ${\frac {-1}{2}}\leq a\leq {\frac {1}{2}}$ $\therefore$$z\in ({\frac {-1}{2}},{\frac {1}{2}})$

f) $z\in \mathbb {C} :Im(z)>0,{\frac {-1}{2}}\leq Re(z)\leq {\frac {1}{2}}$,$|z|\geq 1$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, como b>0 y ${\frac {-1}{2}}\leq a\leq {\frac {1}{2}}$, $|z|\geq 1$, entonces hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1 $\therefore$$z\in$$(-\infty ,-1)$$\bigcup$ $(1,\infty )$