Usuario:Wendy

WENDY CAROLINA GONZALEZ OLIVARES

VARIABLE COMPLEJA

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--Wendy 01:53 22 sep 2009 (UTC) Demostración

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EJERCICIOS

1.- Hallar Z tales que:

A) $e^z=-2$

SOLUCION

Escribimos $e^z$ como $e^x{e}^{iy}$

$e^x{e}^{iy}=\rho e^{i\varphi }$

$\rho =e^x=|e^z|=2$, por lo que $x=\ln 2$

Ahora para $y$

$e^{iy}=e^{i\varphi }=-1$; para que esto se cumpla $\varphi =\pi +2n\pi$

Finalmente

$z=\ln 2+(2n+1)\pi i$

B) $e^{2z-1}=1$

SOLUCION

Escribimos

$e^{2x+2iy-1}=1$

$e^{2x-1}{e}^{2iy}=\rho e^{i\varphi }$

donde $\rho =1$

y para que esto se cumpla $e^{2x-1}=1$

entonces $2x-1=0$; por lo tanto $x=\frac{1}{2}$

Ahora para $y$

$e^{2iy}=e^{i\varphi }=1$; esto es $2y=0+(2n\pi )$

Finalmente

$z=\frac{1}{2}+n\pi i$

2.-Evaluar la siguiente integral $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}{e}^{2it}dt$

SOLUCION

Denotemos la integral anterior con $Int$; entonces

$Int=\frac{e^{2it}}{2i}{|}_0^{\frac{\pi }{6}}$

$Int=\frac{e^{2i\frac{\pi }{6}}}{2i}-\frac{1}{2i}$

$Int=\frac{1}{2i}[\cos (\frac{\pi }{3})+i\sin (\frac{\pi }{3})-1]$

$Int=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{i}{4}$

3.-Muestre que $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{im\theta }{e}^{-in\theta }d\theta$ es 0 si m=n y vale $2\pi$ si m es diferente de n

SOLUCION

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{im\theta }{e}^{-in\theta }d\theta =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{i(m-n)\theta }d\theta$

Denotemos el resultado anterior como $Int$; entonces

$Int=\frac{e^{i(m-n)\theta }}{i(m-n)}{|}_0^{2\pi }$

$Int=\frac{1}{i(m-n)}-\frac{1}{i(m-n)}$

$Int=0$

pero cuando m=n

$Int=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta =2\pi$

4.-Encuentre el valor de la integral $g(z)=\frac{1}{(z^2+4{)}^2}$ de alrededor del círculo $|z-i|=2$

SOLUCION

Podemos escribir la integral de $g(z)$ como:

$Int=\underset{C}{\int }\frac{\frac{1}{(z+2i{)}^2}}{(z-2i{)}^2}dz$

si $f^k\left(z\right)=\frac{k!}{2\mathrm{\Pi }i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f\left(w\right)}{{(w-z)}^{k+1}}dw$

con $k=1$

entonces

$Int=\frac{2i\pi }{1!}\frac{d}{dz}\frac{1}{(z+2i{)}^2}{|}_{z=2i}$

$Int=2i\pi \frac{-2}{(z+2i{)}^3}{|}_{z=2i}$

$Int=\frac{-4i\pi }{(4i{)}^3}$

$Int=\frac{\pi }{16}$