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| '''2.-Evaluar la siguiente integral <math>\int_{\,0}^{\,2\pi }\,{{e}^{2i\,t}}\,dt</math>''' | | '''2.-Evaluar la siguiente integral <math>\int_{\,0}^{\,\frac{\pi}{6} }\,{{e}^{2i\,t}}\,dt</math>''' |
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| | SOLUCION |
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| Denotemos la integral anterior con <math>\displaystyle {Int}</math>; entonces | | Denotemos la integral anterior con <math>\displaystyle {Int}</math>; entonces |
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| <math>Int=\displaystyle {\frac{e^{2i\frac{\pi}{6}}}{2i}-\frac{1}{2i}}</math> | | <math>Int=\displaystyle {\frac{e^{2i\frac{\pi}{6}}}{2i}-\frac{1}{2i}}</math> |
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| <math>Int=\displaystyle{\frac{1}{2i}}[{{cos(\frac{\pi}{3})+{i}sen(\frac{\pi}{3})-1}]}</math> | | <math>Int=\displaystyle{\frac{1}{2i}}[{{\cos(\frac{\pi}{3})+{i}\sin(\frac{\pi}{3})-1}]}</math> |
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| <center><math>Int=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{i}{4}}</math></center> | | <center><math>Int=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{i}{4}}</math></center> |
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| | '''3.-Muestre que <math>\int_{\,0}^{\,2\pi }\,{{e}^{im\,\theta}}\,{{e}^{-in\,\theta}}\,d\theta</math> es 0 si m=n y vale <math>\displaystyle{2\pi}</math> si m es diferente de n''' |
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| | SOLUCION |
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| | <math>\int_{\,0}^{\,2\pi }\,{{e}^{im\,\theta}}\,{{e}^{-in\,\theta}}\,d\theta=\int_{\,0}^{\,2\pi }\,{{e}^{i(m-n)\,\theta}}\,d\theta</math> |
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| | Denotemos el resultado anterior como <math>\displaystyle {Int}</math>; entonces |
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| | <math>Int=\frac{{e}^{i(m-n)\,\theta}}{i(m-n)}\biggr|_{0}^{2\pi}</math> |
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| | <math>Int=\displaystyle{\frac{1}{i(m-n)}-\frac{1}{i(m-n)}}</math> |
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| | <math>Int=\displaystyle{0}</math> |
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| | pero cuando m=n |
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| | <center><math>Int=\int_{\,0}^{\,2\pi }\,d\theta=2\pi</math></center> |
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| | '''4.-Encuentre el valor de la integral <math>\displaystyle{g(z)=\frac{1}{(z^{2}+4)^2}}</math> de alrededor del círculo <math>\displaystyle{|z-i|=2}</math>''' |
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| | [[Archivo:curva.jpg]] |
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| | SOLUCION |
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| | Podemos escribir la integral de <math>\displaystyle{g(z)}</math> como: |
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| | <math>Int=\displaystyle{\int_{\,C}\,\frac{\frac{1}{(z+2i)^2}}{(z-2i)^2}dz}</math> |
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| | si <math>{\displaystyle f^{k}\left(z\right)={\displaystyle \dfrac{k!}{2\Pi i}\int_{\gamma}\dfrac{f\left(w\right)}{\left(w-z\right)^{k+1}}}dw}</math> |
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| | con <math>\displaystyle k=1</math> |
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| | entonces |
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| | <math>Int=\displaystyle{\frac{2i\pi}{1!}\frac{d}{dz}\frac{1}{(z+2i)^2}\biggr|_{z=2i}}</math> |
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| | <math>Int=\displaystyle{2i\pi\frac{-2}{(z+2i)^3}\biggr|_{z=2i}}</math> |
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| | <math>Int=\displaystyle{\frac{-4i\pi}{(4i)^3}}</math> |
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| | <math>Int=\displaystyle{\frac{\pi}{16}}</math> |
WENDY CAROLINA GONZALEZ OLIVARES
VARIABLE COMPLEJA
E-MAIL: shelylgk@hotmail.com
TEL:5522200631
--Wendy 01:53 22 sep 2009 (UTC)
Demostración
EJERCICIOS
1.- Hallar Z tales que:
A)
SOLUCION
Escribimos como
, por lo que
Ahora para
; para que esto se cumpla
Finalmente
B)
SOLUCION
Escribimos
donde
y para que esto se cumpla
entonces ; por lo tanto
Ahora para
; esto es
Finalmente
2.-Evaluar la siguiente integral
SOLUCION
Denotemos la integral anterior con ; entonces
3.-Muestre que es 0 si m=n y vale si m es diferente de n
SOLUCION
Denotemos el resultado anterior como ; entonces
pero cuando m=n
4.-Encuentre el valor de la integral de alrededor del círculo
SOLUCION
Podemos escribir la integral de como:
si
con
entonces