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Javier Ortiz Torres Fenomenos Ondulatorios javier19df@hotmail.com --Javier 20:59 8 feb 2009 (CST)

Oscilaciones Forzadas

Sea A un istema de masa m sujeto a un resorte ideal que obedece la ley de Hooke. Si el sistema se encuentra inmerso en un medio resistente que ejerce una fuerza de amortiguamiento proporcinal a la primera potencia de la velocidad y si además se ejerce sobre él una fuerza de la forma $f(x)=f_{0}cos\left(w_{0}t\right)$ (véase Fig.1) entonces por segunda ley de Newton tenemos que:

$-\propto {\ddot {x}}-kx+f_{0}cos\left(w_{0}t\right)=m{\ddot {x}}$

o bien

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m\ddot{x}+\propto\dot{x}+kx=f_{0}cos\left( w_{0}t\right)

Si definimos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \beta\equiv\frac{\propto}{2m}, w\equiv\frac{k}{m}, F_{0}\equiv\frac{f_{0}}{m}

obtenemos la siguiente ecuacion diferencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ddot{x}+2\beta\ddot{x}+wx=F_{0}cos\left( w_{0}t\right)

Ahora bien fijamos sobre el sistema una cuerda ideal de longitud l de manera que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x = \psi obetenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ddot{\psi}+2\beta\dot{\psi}+w_{0}\psi=F_{0}cos\left( w_{0}t\right)

Cuya solucion es la suma de la ecuacion

$\psi _{general}=\psi _{homogenea}+\psi _{particular}$

${\ddot {\psi }}_{c}+2\beta {\dot {\psi }}_{c}+w_{0}\psi _{c}=F_{c}$

$\psi _{c}=\psi _{0}e^{iw_{0}t}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \dot{\psi_{c}}=i\psi_{0}we^{iw_{0}t}

${\ddot {\psi _{c}}}=-\psi _{0}w^{2}e^{iw_{0}t}$

$(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi _{0}e^{iw_{0}t}=F_{c}$

$(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi _{c}=F_{c}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{c} = \frac{F_{0}e^{iwt}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}

$\psi _{c}\equiv {\frac {F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}$

$\psi _{c}={\frac {F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}{\frac {(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}}={\frac {F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{c}=\frac{F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2})}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta^{2}w^{2}}-i\frac{F_{0}2\beta w}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta^{2}w^{2}}=\psi_{0}e^{i\propto}

$\psi _{0}(w)={\frac {1}{\sqrt {(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \propto(w)=ArcTan(\frac{-2\beta w}{w_{0}^{2}-w^{2}})

El estado estable

${\ddot {\psi }}_{c}+2\beta {\dot {\psi }}_{c}+w_{0}\psi _{c}=F_{c}$

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${\dot {\psi _{c}}}=i\psi _{0}we^{iw_{0}t}$

${\ddot {\psi _{c}}}=-\psi _{0}w^{2}e^{iw_{0}t}$

$(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi _{0}e^{iw_{0}t}=F_{c}$

$(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi _{c}=F_{c}$

$\psi _{c}={\frac {F_{0}e^{iwt}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{c} \equiv \frac{F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}

$\psi _{c}={\frac {F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}{\frac {(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}}={\frac {F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{c}=\frac{F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2})}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta^{2}w^{2}}-i\frac{F_{0}2\beta w}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta^{2}w^{2}}=\psi_{0}e^{i\propto}

$\psi _{0}(w)={\frac {1}{\sqrt {(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}}$

$\propto (w)=ArcTan({\frac {-2\beta w}{w_{0}^{2}-w^{2}}})$