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Javier Ortiz Torres Fenomenos Ondulatorios javier19df@hotmail.com --Javier 20:59 8 feb 2009 (CST)

Introducción

Para entender la extrecha relacion que existe entre un fenomeno ondulatorio y un vibración forzada empesaremos definiendo un sistema que utilizaremos para generar una onda mecanica. Para ello se atara una cuerda ideal de longitud infinita de manera que el movimiento del sistema por definir, sirva como una fuente de ondas mecanicas.

Al hablar de una cuerda ideal nos referimos a una cuerda cuya masa es despresiable en comparacion con la del sistema. Estas hipotesis nos permitiran igualar la cordenada de movimiento del sistema $x$ con la de la cuerda $\psi$ y sustituirla en su ecuacion de movimiento sin modificar la masa, el coeficiente de amortiguamiento ni su frecuencia natural ,esto es, resolver la ecuacion de moviento del sistema equivaldra a tener una expresion para el movimiento que sigue la cuerda.

Una vez hecho esto realizaremos un analisis de forma grafica y analitica de dicha expresión

Deducción del Modelo

Sea A un istema de masa m sujeto a un resorte ideal que obedece la ley de Hooke. Si el sistema se encuentra inmerso en un medio resistente que ejerce una fuerza de amortiguamiento proporcinal a la primera potencia de la velocidad y si además se ejerce sobre él una fuerza $f(t)=f_{0}cos\left(wt\right)$ entonces por segunda ley de Newton tenemos que:

$-\propto {\ddot {x}}-kx+f_{0}cos\left(wt\right)=m{\ddot {x}}$

o bien

$m{\ddot {x}}+\propto {\dot {x}}+kx=f_{0}cos\left(wt\right)$

definiendo

$\beta \equiv {\frac {\propto }{2m}},w_{0}\equiv {\frac {k}{m}},F_{0}\equiv {\frac {f_{0}}{m}}$

obtenemos la siguiente ecuacion diferencial

${\ddot {x}}+2\beta {\ddot {x}}+w_{0}x=F_{0}cos\left(wt\right)$

Si fijamos sobre el sistema una cuerda ideal de longitud infinita entonces podremos escribir la expresion anterior como sigue

${\ddot {\psi }}+2\beta {\dot {\psi }}+w_{0}\psi =F_{0}cos\left(wt\right)\qquad (1)$

Esta expresion representa la ecuacion de movimiento de la cueda que se mueve como resultado de una oscilacion forzada que por razones de simplicidad conviene expresar de la forma

${\ddot {\psi }}_{c}+2\beta {\dot {\psi }}_{c}+w_{0}\psi _{c}=F_{0}e^{iwt}\qquad (2)$

Término transitorio

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La solución general a la ecuación homogenea asociada a (1) tambien conocida como término transitorio se obtiene al calcular las raices de la ecuación

caracteristica $r^{2}+2\beta r+w_{0}=0\qquad (*)$

Esto es

$\psi _{homogenea}=e^{-\beta t}\left\lbrace A_{+}e^{\sqrt {\beta ^{2}-w_{0}^{2}}}+A_{-}e^{-{\sqrt {\beta ^{2}-w_{0}^{2}}}}\right\rbrace$

donde

$r_{1}=-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-w_{0}}}$

$r_{2}=-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-w_{0}}}$

son raices de (*)

Termino estable

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La solución particular la obtenemos utilizado el metodo de coeficientes indeterminados esto es proponemos como solución a

$\psi _{c}=\psi _{0}e^{iwt}\qquad (3)$

y tederminamos $\psi _{0}$. Tomando la primera y segunda derivada de (3) tenemos

${\dot {\psi _{c}}}=i\psi _{0}we^{iwt}$

${\ddot {\psi _{c}}}=-\psi _{0}w^{2}e^{iwt}$

sustituyendo en (2) resulta

$(w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw)\psi _{0}e^{iwt}\Rightarrow \psi _{0}={\frac {F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}$

$\psi _{0}={\frac {F_{0}}{w_{0}^{2}-w^{2}+2\beta iw}}{\frac {(w_{0}^{2}-w^{2}-2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2}-2\beta iw)}}={\frac {F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2}-2\beta iw)}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}={\frac {F_{0}(w_{0}^{2}-w^{2})}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}-i{\frac {F_{0}2\beta w}{(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}=\|\psi _{0}\|e^{-i\propto }$

$\|\psi _{0}(w)\|={\frac {F_{0}}{\sqrt {(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}}$

$\propto (w)=-ArcTan({\frac {2\beta w}{w_{0}^{2}-w^{2}}})$

$\psi _{particular}=Re(\psi _{c})$

$\psi _{particular}={\frac {F_{0}}{\sqrt {(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+4\beta ^{2}w^{2}}}}Cos(wt-\propto )$