Usuario:Eduardo Nava

Energía

El concepto de energía en sus variadas formas ocupa una posición clave en la teoría física. Dicha importancia es primordialmente por el hecho de que la energía se conserva de una u otra forma, se presume la energía contenida del universo es constante.

La energía puede cambiar de forma fácilmente, como por ejemplo; movimiento en el espacio, se hace irreversible perdiéndose en el entorno en forma de calor, etc.

Derivación de energía cinética y potencial

En un instante cualquiera, las partículas de un medio que transporta una onda están en diversos estados de movimiento. Evidentemente, el medio está dotado de una energía en su estado de reposo natural, es decir, existen contribuciones de energía potencial de la deformación y energía cinética del movimiento. De esta manera, asi como en los sistemas mecanicos se presentan dos tipos de energias.

Cuando la masa se mueve con rapidez $\left|{\dot {\psi }}\right|$ en cualquier dirección, su energía potencial es:

$T={\frac {1}{2}}m{\dot {\psi }}^{2}$- - -(1)

Cuando el resorte es extendido o compirmirdo por una distancia $\left|\psi \right|$, almacena energía potencial:

$V={\frac {1}{2}}m\psi ^{2}$- - -(2)

Por tanto la energía total es:

$W=T+V={\frac {1}{2}}m{\dot {\psi }}^{2}+{\frac {1}{2}}m\psi ^{2}$ - - - (3)

Recordando que la energía total es constate durante la vibración, ya que las fuerzas de disipación como la fricción y viscosidad no son tmadas en cuanta. Por tanto:

${\frac {dW}{dt}}$=0

Usando la ecuación (3) se obtiene que:

$m{\dot {\psi }}{\ddot {\psi }}+s\psi {\dot {\psi }}=0$

$\Rightarrow m{\ddot {\psi }}+s\psi =0$- - - (4)

La ecuación (4) es la ecuación del movimiento armónico.

Para descubirir como varia la energía cinética y la energía potencial con respecto al tiempo, se debe de ocupar la ecución para un movimiento armónico, es decir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi=A \left( \cos \left( \omega_0 t+\phi \right) \right) - - -(5)

${\dot {\psi }}=-\omega _{0}A\sin(\omega _{0}t+\phi )$- - -(6)

Donde $\omega _{0}=({\frac {s}{m}})^{\frac {1}{2}}$

Sustituyendo (5) en (2) y (6) en (1) respectivamente, se obtiene que:

$T={\frac {1}{2}}m(-\omega _{0}A\sin(\omega _{0}t+\phi ))^{2}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V= \frac{1}{2}s (A\cos(\omega_0 t+\phi))^2

Por tanto la ecuación (3) quedaría como:

$W={\frac {1}{2}}m(\omega _{0}A)^{2}={\frac {1}{2}}sA^{2}$

Para una masa y resorte dado, la energía total es proporcional al cuadrado de su amplitud, pero no depende de una fase constante.

De la vibración, podemos pensarla como una transferencia repetida de una cantidad fija de energía de la masa hacia el resorte y viceverza. Cuando el resorte esta extendido o comprimido en su máxima distancia $\psi =\pm A$, la masa llega momentaneamente al reposo y la energía cinética desaparece. En ese momoento toda la energía del sistema se almacena en el resorte como energía potencial. Cuando la masa pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi=0 tiene un máximo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega_0 A y contiene el total de energía del sistema. En otros puntos del ciclo, hay una varieble mezclada de energía potencia y cinética, pero la suma de dichas energías nunca cambia.--jaguar bebé 18:31 14 mar 2009 (CDT)

Propagación de energía

Un segmento de una cuerda elástica puede almacenar tanto energía cinética como energía poencial. Para poder enteder mejor este problema, se considerará un segmento de la cuerda, tan corto que consideraremos como recto, que está comprendido entre x y x+dx, como se muestra en la figura. Se tomaran las hipótesis de que los desplazamientos de las partículas de la cuerda son estricamente transversales y que el valor de la tensión "K" no viaría por la deformación de la cuerda.

La masa del segmento pequeño es $\mu dz$ y su velocidad transversal ${\frac {\partial \psi }{\partial t}}$. De esta manera:

$T={\frac {1}{2}}\mu dz({\frac {\partial \psi }{\partial t}})^{2}$

De esta form se definirá la energía cinética por unidad de longitud, que se denomina densidad de energía cinética, para dicho segmento:

Densidad de energía cinética$\equiv {\frac {dT}{dz}}={\frac {1}{2}}\mu ({\frac {\partial \psi }{\partial t}})^{2}$- - -(7)

La densidad de energía potencial en un punto depende en cuanta comprensión a ocurrido en ese punto, y la constante de compresión S depende del tipo de cuerda. La energía potencial puede calcularse hallando el incremento de longitud de la cuerda cuando se deforma. Este alargamiento, multiplicado por la tensión costante "K", es igual al trabajo realizado en la deformación. De esta forma:

$V=K\left(ds-dz\right)$

en donde

$ds=(dz^{2}+d\psi ^{2})^{\frac {1}{2}}$

$ds=dz[1+({\frac {\partial \psi }{\partial z}})]$

Dado que la hipotesis es de que los desplazamientos son pequeños, de tal modo que ${\frac {\partial \psi }{\partial z}}<<1$, la ecuación anterior se puede aproximar utilizando el desarrollo de del binomio, obteniendose:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ds-dz \approx \frac{1}{2}(\frac{\partial \psi}{\partial z})^2 dz

por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V \approx \frac{1}{2} K (\frac{\partial \psi}{\partial z})^2 dz

De esta manera la densidad de energía potencial quedaría

Densidad de energía potencialError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \equiv \frac{dV}{dz}\approx \frac{1}{2} K (\frac{\partial \psi}{\partial z})^2 - - -(8)

Ocupando las ecuaciones (7) y (8) se obtienen que la energía total es:

$W={\frac {1}{2}}\mu ({\frac {\partial \psi }{\partial t}})^{2}+{\frac {1}{2}}K({\frac {\partial \psi }{\partial z}})^{2}={\frac {Z}{2c}}\left[\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)^{2}+c^{2}\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)^{2}\right]$- - -(9)

Esta expresión permanece para cualquier perturbación, pero si la ecuación de onda viajera es también satisfecha, los dos términos de la derecha de la ecuación (9) podrán ser iguales en cualquier lugar, y se puedrá decir que la energía cinética y potencial son iguales en todo punto sobre una cuerda llevada por una onda viajera.

Flujo de energía

Ahora se desea cacular la velocidad con que la energía pasa por un punto z de la cuerda, de esquierda a derecha. Se sabe que la cuerda del lado derecho experimenta una fuerza externa debido a la cuerda de la izquierda, dicha fuerza es aproximadamente igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -T \left( \frac{\partial \psi}{\partial z}\right) . Esta fuerza pudria hacer trabajo si el punto z se mueve fuera de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi = 0 : esto es, si $\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)$ es positivo en ese instante. La velocidad con la que trabaja es

$P=-T\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=-Zc\left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)$- - -(10)

Esta es la potencia derivada de izquierda a derecha que paso por el punto z.

La ecuación (10) nuevamente esta ecuación es bastante general. Al aplicar esta ecuación a una onda viajera, se obtiene que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): P= \pm \frac{T}{c}\left( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right)^2=\pm Z \left( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right)^2 - - -(11)

Hay que recordar que como en este caso se trata de una onda viajera, los terminos de la derecha son iguales, por tanto la ecauciión (11) se puede rescribir como

$P=\pm cW$- - -(12)

La potencia P es positiva para la onda viajera de la derecha y negativa para la onda viajera de la izquierda, por tanto la energía viaja en la misma dirección de la onda.

Explicación geométrica

Para explicar mejor lo que sucede con la energía se explicara en forma geométrica, para esto, se ocupará la ecuación de onda viajera siguiente

$\psi =A\cos \left(\omega t-kz+\phi \right)$

Con esta ecuación se puede llegar a que la densidad de energía total es

$W=\left({\frac {Z}{2c}}\right)\left(\omega ^{2}+c^{2}k^{2}\right)A^{2}\sin ^{2}\left(\omega t+kz+\phi \right)$

En la figura se observa la distribución de la energía total a lo largo de una cuerda. Los máximos de la densidad de energía ocurren cuando los puntos de la cuerda estan en el desplazamiento igual a cero. Como lo sugiere la ecuación (12), la energía se mueve con el perfil de onda cuando se mueve a traves de la cuerda de izquierda a derecha.