Usuario:Eduardo Nava

Energía

El concepoto de energía en sus variadas formas ocupa una posición clave en la teoría física. Dicha importancia es primordialmente por el hecho de que la energía se conserva en una u otra forma, presumiblemente la energía contenida del universo es constante.

La energía puede cambiar de forma facilmente, como; movimiento en el espacio, se hace irreversible perdiendose en el entorno en forma de calor, etc.

Derivación de energía cinética y potencial

En un instante cualquiera, las particulas de un medio que transporta una onda están en diversos estados de movimiento. Evidentemente, el medio está dotado de una energía en su estado de reposo normal, es decir, existen contribuciones de energía potencial de la deformación y energía cinética del movimiento.

Al igual que en los sistemas mecánicos se presentan dos tipos de energía. Cuando la masa se mueve con rapidez $\left|{\dot {\psi }}\right|$ en cualquier dirección, su energía potencial es:

$T={\frac {1}{2}}m{\dot {\psi }}^{2}$- - -(1)

Cuando el resorte es extendido o compirmirdo por una distancia $\left|\psi \right|$, almacena energía potencial:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V=\frac{1}{2}m\psi ^{2} - - -(2)

Por tanto la energía total es:

$W=T+V={\frac {1}{2}}m{\dot {\psi }}^{2}+{\frac {1}{2}}m\psi ^{2}$ - - - (3)

Recordando que la energía total es constate durante la vibración, ya que las fuerzas de disipación como la fricción y viscosidad no son tmadas en cuanta. Por tanto:

${\frac {dW}{dt}}$=0

Usando la ecuación (3) se obtiene que:

$m{\dot {\psi }}{\ddot {\psi }}+s\psi {\dot {\psi }}=0$

$\Rightarrow m{\ddot {\psi }}+s\psi =0$- - - (4)

La ecuación (4) es la ecuación del movimiento armónico.

Para descubirir como varia la energía cinética y la energía potencial con respecto al tiempo, se debe de ocupar el resultado obtenido para un movimiento armónico, es decir:

$\psi =A(\cos(\omega _{0}t+\phi ))$- - -(5)

${\dot {\psi }}=-\omega _{0}A\sin(\omega _{0}t+\phi )$- - -(6)

Donde $\omega _{0}=({\frac {s}{m}})^{\frac {1}{2}}$

Sustituyendo (5) en (2) y (6) en (1) respectivamente, se obtiene que:

$T={\frac {1}{2}}m(-\omega _{0}A\sin(\omega _{0}t+\phi ))^{2}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V= \frac{1}{2}s (A\cos(\omega_0 t+\phi))^2

Por tanto la ecuación (3) quedaría como:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): W= \frac{1}{2} m(\omega_0 A)^2=\frac{1}{2} s A^2

Para una masa y resorte dado, la energía total es proporcional al cuadrado de su amplitud, pero no depende de una fase constante.

De la vibración, podemos pensarla como una transferencia repetida de una cantidad fija de energía de la masa hacia el resorte y viceverza. Cuando el resorte esta extendido o comprimido en su máxima distancia $\psi =\pm A$, la masa llega momentaneamente al reposo y la energía cinética desaparece. En ese momoento toda la energía del sistema se almacena en el resorte como energía potencial. Cuando la masa pasa por $\psi =0$ tiene un máximo $\omega _{0}A$ y contiene el total de energía del sistema. En otros puntos del ciclo, hay una varieble mezclada de energía potencia y cinética, pero la suma de dichas energías nunca cambia.--jaguar bebé 18:31 14 mar 2009 (CDT)

Propagación de energía

Un segmento de una cuerda elástica puede almacenar tanto energía cinética como energía poencial. Para poder enteder mejor este problema, se considerará un segmento de la cuerda, tan corto que consideraremos como recto, que está comprendido entre x y x+dx, como se muestra en la figura. Se tomaran las hipótesis de que los desplazamientos de las partículas de la cuerda son estricamente transversales y que el valor de la tensión K no viaría por la deformación de la cuerda.

La masa del segmento pequeño es $\mu dz$ y su velocidad transversal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial \psi}{\partial t} . De esta manera:

$T={\frac {1}{2}}\mu dz({\frac {\partial \psi }{\partial t}})^{2}$

De esta form se definirá la energía cinética por unidad de longitud, que se denomina densidad de energía cinética, para dicho segmento:

Densidad de energía cinética$\equiv {\frac {dT}{dz}}={\frac {1}{2}}\mu ({\frac {\partial \psi }{\partial t}})^{2}$

La densidad de energía potencial en un punto depende en cuanta comprensión a ocurrido en ese punto y la compresión que de pende de la constate S que depende del tipo de cuerda. La energía potencial puede calcularse hallando el incremento de longitud de la cuerda cuando se deforma. Este alargamiento, multiplicado por la tensión costante K, es igual al trabajo realizado en la deformación. De esta forma:

$V=K(ds-dz)$

en donde

$ds=(dz^{2}+d\psi ^{2})^{\frac {1}{2}}$

$ds=dz[1+({\frac {\partial \psi }{\partial z}})]$

Dado que la hipotesis es de que los desplazamientos son pequeños, de tal modo que ${\frac {\partial \psi }{\partial z}}<<1$, la ecuación anterior se puede aproximar utilizando el desarrollo de del binomio, obteniendose:

$ds-dz\approx {\frac {1}{2}}({\frac {\partial \psi }{\partial z}})^{2}dz$

por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V \approx \frac{1}{2} K (\frac{\partial \psi}{\partial z})^2 dz

De esta manera la densidad de energía potencial quedaría

Densidad de energía potencialError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \equiv \frac{dV}{dz}\approx \frac{1}{2} K (\frac{\partial \psi}{\partial z})^2