Transformadas de Fourier

TRANSFORMADAS DE FOURIER

OBJETIVO:

El objetivo de conocer las transformadas de Fourier es comprender el modo en que los sistemas ópticos procesan la luz para formar imágenes.

Al terminar solo nos centraremos en las amplitudes y las fases de las ondas luminosas que alcanzan el plano imagen.

Prerrequisitos: Tener conocimientos sobre el análisis de Fourier.

TEMARIO:

1) Las Integrales de Fourier. 2) Transformadas Unidimensionales. 3) Transformada De La Función Gaussiana. 4) Transformadas Bidimensionales.

Las Integrales de Fourier.

Imaginemos que tenemos una onda cuadrada, y que mantenemos constante el ancho de pico cuadrado, mientras que $\lambda$ se incrementa sin limite. Al acercarse $\lambda$ al infinito la función resultante ya no será periódica entonces tendríamos un pulso cuadrado único, estas ideas nos sugieren una forma posible de generalizar el método de las series de Fourier para incluir las funciones que no son periódicas.

Para ver como lograrlo sea inicialmente $\textstyle {a}$=4 y escojamos algún valor de $\lambda$

Transformadas Unidimensionales.

En la sección de INTEGRALES DE FOURIER, se vio que una función de una dimensión puede ser expresada como una combinación lineal de un número infinito de contribuciones armónicas, que se expresa como

$\textstyle {f(x)}={\frac {1}{\pi }}\left[\int _{0}^{\infty }\textstyle {A}\cos Kx\,dK+\int _{0}^{\infty }\textstyle {B}\sin Kx\,dK\right]$

Los factores de peso que determinan la importancia de las diversas contribuciones de frecuencia espacial angular $\textstyle {K}$,es decir $\textstyle {A(K)}$, y $\textstyle {B(K)}$, son las transformadas de Fourier del seno y coseno dadas por:

$\textstyle {A(K)}=\left[\int _{-\infty }^{\infty }{f(x')}\cos Kx'\,dx'\right]$

$\textstyle {B(K)}=\left[\int _{-\infty }^{\infty }{f(x')}\sin Kx'\,dx'\right]$

respectivamente.Aqui la cantidad x' es una variable muda sobre la cual se lleva a cabo la integracion,de manera que ni A(K) ni B(K),son funcines explicitas de x' y la seleccion del simbolo usado para indicarla no es importante.Las transformadas del seno y coseno pueden consolidarse dentro de una sola expresion exponencial compleja como sigue:

$\textstyle {f(x)}={\frac {1}{\pi }}\left[\int _{0}^{\infty }\cos Kx\,\int _{-\infty }^{\infty }{f(x')}\cos Kx'\,dx'dK+\int _{0}^{\infty }\sin Kx\,\int _{-\infty }^{\infty }{f(x')}\sin Kx'\,dx'dK\right]$

pero como cosK'(x-x')= cosk0*coskx'+sinkxsenkx' esto se puede reescribir como:

$\textstyle {f(x)}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }{f(x')}\cos K(x'-x)\,dx'\right]\,dK$

La cantidad entre parentesis cuadrados es una funcion par de k por lo tanto, al cambiar los limites de sobre la integral externa,tendremos

$\textstyle {f(x)}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }{f(x')}\cos K(x'-x)\,dx'\right]\,dK$

Ya que estamos buscando una representacion exponencial,nos viene a la memoria el teorema de Euler.Por consiguiente,observese que

$\textstyle {f(x)}={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }{f(x')}\sin K(x'-x)\,dx'\right]\,dK=0$

Por lo que el factor entre parentesis es una funcion impar de k.Al sumar esta dos ultimas expresiones,se obtiene la forma compleja de la integral de Fourier.

$\textstyle {f(x)}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }{f(x')}e^{ikx'}\,dx'\right]e^{-ikx}\,dK$

Por lo tanto podemos escribir $\textstyle {f(x)}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{F(K)}e^{-ikx}\,dK$

siempre que

$\textstyle {F(K)}=\int _{-\infty }^{\infty }{f(x)}e^{ikx}\,dx$

habiendo puesto x'=x en la ecuacion.La funcion F(K)en la transformada de Fourier de f(x),la cual se indica simbolicamente por

${\mathfrak {F}}$,

En realidad, en la literatura existen varias maneras equivalentes, ligeramente diferentes de definir la transformada. Por ejemplo, los signos en las exponenciales pueden intercambiarse o el factor de ${\frac {1}{2\pi }}$ podría dividrse simétricamente entre $\textstyle {f(x)}$ y F(K), es decir, cada uno tendría un coeficiente de ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$. Obsérvese que $\textstyle {A(k)}$ es la parte real de F(k) mientras que $\textstyle {B(k)}$ es la imaginaria, es decir

$\textstyle {F(K)}={\textstyle {A(k)}}+{\textstyle {iB(k)}}$

Como vimos en la sección 2.4, una cantidad compleja como ésta puede escribirse también en términos de amplitud de valor real, $\left|\textstyle {F(k)}\right\vert$, el ${\mathit {espectrodeamplitud,}}$, y una fase de valor real,

Transformada De La Función Gaussiana.

Sea la función:

$\textstyle {f(x)}=\textstyle {C}e^{-ax^{2}}\,\!$; donde: $\ C={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}$ y $\textstyle {a}$ es una constante. Si queremos podemos suponer que esto sea el perfil de un pulso para $\textstyle {t}=0$. La familiar curva con forma de campana. En òptica se encuentra con mucha frecuencia y se encuentra relacionada con paquetes de onda de fotones individuales, también en la distribución de la irradiancia transversal de un haz de luz láser en el modo $\textstyle {TMM_{0}0}$ y el tratamiento estadístico de luz térmica en la teoría de coherencia.

Su transformada de Fourier ${\mathfrak {F}}$ $\left\{f(x)\right\}$ la obtenemos evaluando:

${\mathfrak {F}}$ $\left\{f(x)\right\}$ = $\textstyle {f(k)}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ikx}\,dk$, entonces si sustituimos la funcion gaussiana en está expresión obtenemos:

${\mathfrak {F}}$ $\left\{f(x)\right\}$= $\int _{-\infty }^{\infty }Ce^{-ax^{2}}e^{-ikx}\,dk$, por propiedades de la exponencial esta expresion se ve como:

${\mathfrak {F}}$ $\left\{f(x)\right\}$= $\int _{-\infty }^{\infty }Ce^{(-ax^{2}-ikx)}\,dk$,