Diferencia entre revisiones de «Rendijas»
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(No se muestran 27 ediciones intermedias de 2 usuarios) | |||
Línea 1: | Línea 1: | ||
= | =Rendijas= | ||
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Para n | La difracción en rendijas es un fenómeno amplia mente estudiado, este fenómeno se lleva a cabo mediante una luz incidente en una | ||
apertura con dimensiones variables o en su caso varias aperturas. La difracción ocurre cuando la longitud de onda de la luz | |||
incidente en la apertura tiene dimensiones de longitud muy parecidas. | |||
En los párrafos siguientes se muestra el calculo de la difracción en en cuatro diferentes aberturas (tres de ellos en 1D Y uno mas en dos dimensiones) y como se llega a la irradianza. | |||
==Para una sola rendija== | |||
Se considera una fuente puntual (circulo azul), la radiación pasara por la rendija de ancho | |||
2a y una vez que interactue con la abertura sera detectada en una pantalla (Figura 1). | |||
[[Image:11rendija.jpg|frame|c|0.05px|Figura 1: En la figura se muestra el intervalo [a,-a] ]] | |||
La solución se muestra de la siguiente manera, donde <math> l_{1} </math> y <math> l_{2} </math> | |||
son los limites de la rendija por donde pasara la luz. | |||
<math> \Psi(P)=c\int\limits_{l_{1}}^{l_{2}}e^{i\kappa\alpha\xi}\, d\xi </math> | |||
con base a la figura 1. se observa que los limites de integración serán <math> a </math> en el limite superior y <math>-a </math> en el limite inferior. | |||
<math> \Psi(P)=c \frac{e^{-i \kappa \alpha \xi}}{-i\kappa \alpha}|^{\;a}_{-a} </math> | |||
Evaluando. | |||
<math> \Psi(P)=\frac{c}{-i \kappa \alpha}(e^{-i \kappa \alpha a}-e^{i \kappa \alpha a}) </math> | |||
multiplicando por 2/2. | |||
<math> \Psi(P)= \frac{2c}{\kappa \alpha} ( \frac{e^{i \kappa \alpha a}-e^{-i \kappa \alpha a}}{2i})</math> | |||
Recordando que <math> Sen(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math> | |||
<math> \Psi(P)= \frac{2c}{\kappa \alpha} Sen(\kappa \alpha a)</math> | |||
<math> \Psi(P)= 2ca \frac{Sen(\kappa \alpha a)}{\kappa \alpha a} </math> | |||
Se nombra. | |||
<math> \gamma= \kappa \alpha a </math> | |||
Haciendo el cambio de variable se llega a. | |||
<math> \Psi(P)= 2ca \frac{Sen(\gamma)}{\gamma} </math> | |||
Elevando al cuadrado. | |||
<math> |\Psi(P)|= 4c^{2}a^{2} (\frac{Sen \gamma}{\gamma})^{2}=I(p)</math> | |||
==Apertura rectangular== | |||
[[Image:rec.jpg|frame|c|0.05px|Figura 2: En la figura se muestran las dimensiones del rectángulo]] | |||
Para una apertura rectangular se considera un rectángulo de lados 2a y 2b, utilizando la integral de difracción de Fraunhofer | |||
<math> \Psi(P)=c \int\limits_{-a}^{a} \int\limits_{-b}^{b} e^{-i\kappa(p\xi+q\eta)} d\xi d\eta= c\{ | |||
\int\limits_{-a}^{a}e^{-i\kappa p \xi}d\xi \int\limits_{-b}^{b} e^{-i\kappa q \eta}d\eta | |||
\} </math> | |||
En la figura 2 se muestran las dimensiones de la apertura donde los ejes ahora son llamados con otro nombre, en el eje x se tiene <math>\xi</math> y en el eje "y" la letra <math>\eta</math> | |||
Observando solo la primera integral con los limites entre a y -a se procede a resolver y evaluar de la siguiente forma. | |||
<math> \Psi(P)= \int\limits_{-a}^{a} e^{-i\kappa p\xi} d\xi= - \frac{1}{i \kappa p} \{ e^{-i \kappa pa}-e^{-i \kappa qb} \} | |||
=2 \frac{Sen (\kappa pa)}{\kappa pa}</math> | |||
De igual forma se realiza la otra integral. La intensidad esta dada por. | |||
<math> I(P)=|\Psi(P)|^{2}=I_{0}(\frac{Sen \kappa pa}{\kappa pa})^{2}(\frac{Sen \kappa qb}{\kappa qb})^{2} </math> | |||
Donde <math>I_{0}</math> es la intensidad en el centro de la pantalla. | |||
==Doble rendija== | |||
Utilizando la misma idea de una sola rendija vista anteriormente, se escribe la solución de la siguiente manera. | |||
se puede observar en la figura 3. la simetría que se encuentra al tomar las distancias de la manera en que se muestra | |||
para posteriormente hacer la integral y reducir factores. | |||
[[Image:2rendija.jpg|frame|r|1px|Figura 3: En la figura se muestra los intervalos de integración (superior e inferior) ]] | |||
<math> \Psi(P)=c \{ \int\limits_{-d-a}^{-d+a}e^{-i\kappa\alpha\xi}\, d\xi + \int\limits_{d-a}^{d+a}e^{-i\kappa\alpha\xi}\, d\xi \} </math> | |||
<math> \Psi(P)=c \{ \frac{e^{-i \kappa \alpha \xi} }{-i \kappa \alpha \xi}|^{-d+a}_{-d-a}+ \frac{e^{-i \kappa \alpha \xi}}{-i \kappa \alpha \xi} |^{d+a}_{d-a} \} </math> | |||
<math> \Psi(P)=c \frac{1}{-i \kappa \alpha} \{e^{-i \kappa \alpha (-d+a)}-e^{-i \kappa \alpha (-d-a)}+e^{-i \kappa \alpha (d+a)}-e^{-i \kappa \alpha (d-a)} \} </math> | |||
Multiplicando por un factor 2\2. | |||
<math> \Psi(P)= \frac{2c}{2} \frac{1}{-i \kappa \alpha} \{e^{i \kappa \alpha (d-a)} | |||
-e^{-i \kappa \alpha (-d-a)} | |||
+e^{i \kappa \alpha (-d-a)} | |||
-e^{-i \kappa \alpha (d-a)} \} </math> | |||
Haciendo un Re acomodando los términos de la suma de exponenciales. | |||
<math> \Psi(P)= \frac{2c}{2} \frac{1}{-i \kappa \alpha} \{ | |||
(e^{i \kappa \alpha (d-a)} -e^{-i \kappa \alpha (d-a)}) | |||
-(e^{i \kappa \alpha (d+a)}-e^{-i \kappa \alpha (d+a)} ) | |||
\} </math> | |||
<math> \Psi(P)= -2c \frac{1}{\kappa \alpha} \{ | |||
\frac{(e^{i \kappa \alpha (d-a)} -e^{-i \kappa \alpha (d-a)})}{2i} | |||
-\frac{(e^{i \kappa \alpha (d+a)}-e^{-i \kappa \alpha (d+a)} )}{2i} | |||
\} </math> | |||
<math> \Psi(P)= -2c\frac{1}{ \kappa \alpha} \{ | |||
Sen (\kappa \alpha (d-a)) | |||
-Sen (\kappa \alpha (d+a)) | |||
\} </math> | |||
Usando la identidad. | |||
<math> Sen(a)-Sen(b)=2Cos(\frac{1}{2}(a+b)Sen\frac{1}{2}(a-b))</math> | |||
Entonces. | |||
<math> Sen (\kappa \alpha (d-a)) -Sen (\kappa \alpha (d+a))= | |||
\{2 Cos(\frac{1}{2}( \kappa \alpha d - \kappa \alpha a+ \kappa \alpha d+\kappa \alpha a )) | |||
Sen(\frac{1}{2} (\kappa \alpha d-\kappa \alpha a-\kappa \alpha d- \kappa \alpha a )) | |||
\} </math> | |||
haciendo las sumas y eliminando términos se obtiene. | |||
<math> \Psi(P)= \frac{4c}{ \kappa \alpha} \{ | |||
Sen (\kappa \alpha a) | |||
Cos (\kappa \alpha d) | |||
\} </math> | |||
Con un cambio de variable se obtiene. | |||
<math> \Psi(P)=4ca \{ | |||
\frac{Sen (\gamma)}{\gamma} | |||
Cos (\delta) | |||
\} </math> | |||
==N Rendijas== | |||
Para n rendijas se tiene se tiene la solución construida de la | |||
siguiente manera, se puede observar el arreglo de las n rendijas | |||
en la figura 4. | |||
[[Image:nnrendija.jpg|frame|r|1px|Figura 4: En la figura se muestra los intervalos de integración (superior e inferior), buscando una simetria entre todos ellos.]] | |||
<math>\Psi(p)=c \{ \int\limits_{0}^{b}e^{i\kappa\alpha\xi}\, d\xi | <math>\Psi(p)=c \{ \int\limits_{0}^{b}e^{i\kappa\alpha\xi}\, d\xi | ||
Línea 12: | Línea 186: | ||
<math>\int\limits_{l_{1}}^{l_{2}}e^{i\kappa\alpha\xi}\, d\xi | <math>\int\limits_{l_{1}}^{l_{2}}e^{i\kappa\alpha\xi}\, d\xi | ||
=</math> | =\frac{e^{i\kappa\alpha\xi}}{\kappa\alpha\xi}|^{l_{2}}_{l_{1}}=\frac {1}{\kappa\alpha}\frac{e^{i\kappa\alpha l_{2}}-e^{i\kappa\alpha l_{1}}}{i}</math> | ||
Resolviendo la primera integral, segunda, hasta la enésima integral. | |||
<math>1=\frac{1}{\kappa \alpha} \frac{e^{i \kappa \alpha b}-1}{i} </math> | |||
<math>2=\frac{1}{\kappa \alpha} \frac{e^{i \kappa \alpha (h+b)}-e^{i \kappa \alpha h}}{i} </math> | |||
. | |||
. | |||
. | |||
<math>n=\frac{1}{\kappa \alpha} \frac{e^{i \kappa \alpha (n-1)h + b}-e^{i \kappa \alpha (n-1)h}}{i} </math> | |||
La segunda ecuación se puede reescribir de la siguiente manera. | |||
<math> \frac{1}{\kappa \alpha} e^{i \kappa \alpha h}\frac{(e^{i \kappa \alpha b}-1)}{i} </math> | |||
Para la eneada ecuación. | |||
<math> \frac{1}{\kappa \alpha} (e^{i \kappa \alpha (n-1)h}) (\frac{e^{i \kappa \alpha b}-1}{i}) </math> | |||
Donde se puede observar un termino común en todas los términos, se puede reescribir la ecuación como sigue. | |||
<math>\Psi(p)=c \{ \frac{1}{\kappa \alpha} \frac{e^{i \kappa \alpha b}-1}{i} \} \{ 1+e^{i \kappa \alpha h} +e^{i \kappa \alpha 2h}+...e^{i \kappa \alpha (n-1)h} \} </math> | |||
Recordando. | |||
<math> \sigma=1+x+x^{2}+...+x^{n-1}</math> | |||
<math> \sigma x=x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n}</math> | |||
Restando las dos ecuaciones anteriores. | |||
<math> x\sigma-\sigma=x^{n}-1</math> | |||
<math> \sigma(x-1)=x^{n}-1</math> | |||
<math> \sigma=\frac{x^{n}-1}{x-1}</math> | |||
Si se observa la ecuación se reescribe. | |||
<math> \sigma=\frac{x^{n}-1}{x-1}= \frac{e^{i \kappa \alpha nh}-1}{e^{i \kappa \alpha h}-1}</math> | |||
en la ecuación. | |||
<math> \Psi(P)=c \frac{e^{i \kappa \alpha b}-1}{\kappa \alpha} \{ \frac{e^{i \kappa \alpha nh}-1}{e^{i \kappa \alpha h}-1} \} </math> | |||
<math> \Psi(P)=\frac{2c}{\kappa \alpha} e^{i \kappa \alpha \frac{b}{2}} | |||
(\frac{e^{i \kappa \alpha \frac{b}{2}}-e^{-i \kappa \alpha \frac{b}{2}}}{2i}) | |||
\frac{e^{i \kappa \alpha n \frac{h}{2}} ( \frac{e^{i \kappa \alpha n \frac{h}{2}}-e^{-i \kappa \alpha n \frac{h}{2}}}{2i})} | |||
{{e^{i \kappa \alpha \frac{h}{2}} ( \frac{e^{i \kappa \alpha \frac{h}{2}}-e^{-i \kappa \alpha \frac{h}{2}}}{2i})}} | |||
</math> | |||
<math> \Psi(P)=\frac{2c}{\kappa \alpha} e^{i \kappa \alpha \frac{b}{2}} | |||
(Sen(\frac{\kappa \alpha b}{2} )) | |||
\frac{e^{i \kappa \alpha n \frac{h}{2}} ( Sen(\frac{\kappa \alpha nh}{2} ) )} | |||
{{e^{i \kappa \alpha \frac{h}{2}} ( Sen(\frac{\kappa \alpha nh}{2} ) )}} | |||
</math> | |||
<math> \Psi(P)=cb e^{i \kappa \alpha \frac{b}{2}} e^{i \kappa \alpha (n-1)\frac{h}{2}} | |||
\frac{(Sen(\frac{\kappa \alpha b}{2} ))}{\frac{\kappa \alpha b}{2}} | |||
\frac{Sen(n \kappa \alpha \frac{h}{2})}{Sen(\kappa \alpha \frac{h}{2})} | |||
</math> | |||
<math>\Psi(P)= c\{n\} \frac{Sen(\beta)}{\beta} \frac{Sen (n\beta)}{n \beta} </math> | |||
<math>|\Psi(P)|= I_{0} (\frac{Sen(\beta)}{\beta})^{2} (\frac{Sen (n\beta)}{n \beta})^{2} </math> | |||
== Fuentes y referencias == | |||
''"Optics"'', 2ta edición, Eugene Hecht, Alfred Zajac. | |||
''"Pinciples of optics"'', Max Born. | |||
[[Category:optica]] |
Revisión actual - 08:37 5 oct 2023
Rendijas
La difracción en rendijas es un fenómeno amplia mente estudiado, este fenómeno se lleva a cabo mediante una luz incidente en una
apertura con dimensiones variables o en su caso varias aperturas. La difracción ocurre cuando la longitud de onda de la luz
incidente en la apertura tiene dimensiones de longitud muy parecidas.
En los párrafos siguientes se muestra el calculo de la difracción en en cuatro diferentes aberturas (tres de ellos en 1D Y uno mas en dos dimensiones) y como se llega a la irradianza.
Para una sola rendija
Se considera una fuente puntual (circulo azul), la radiación pasara por la rendija de ancho
2a y una vez que interactue con la abertura sera detectada en una pantalla (Figura 1).
La solución se muestra de la siguiente manera, donde y son los limites de la rendija por donde pasara la luz.
con base a la figura 1. se observa que los limites de integración serán en el limite superior y en el limite inferior.
Evaluando.
multiplicando por 2/2.
Recordando que
Se nombra.
Haciendo el cambio de variable se llega a.
Elevando al cuadrado.
Apertura rectangular
Para una apertura rectangular se considera un rectángulo de lados 2a y 2b, utilizando la integral de difracción de Fraunhofer
En la figura 2 se muestran las dimensiones de la apertura donde los ejes ahora son llamados con otro nombre, en el eje x se tiene y en el eje "y" la letra
Observando solo la primera integral con los limites entre a y -a se procede a resolver y evaluar de la siguiente forma.
De igual forma se realiza la otra integral. La intensidad esta dada por.
Donde es la intensidad en el centro de la pantalla.
Doble rendija
Utilizando la misma idea de una sola rendija vista anteriormente, se escribe la solución de la siguiente manera.
se puede observar en la figura 3. la simetría que se encuentra al tomar las distancias de la manera en que se muestra
para posteriormente hacer la integral y reducir factores.
Multiplicando por un factor 2\2.
Haciendo un Re acomodando los términos de la suma de exponenciales.
Usando la identidad.
Entonces.
haciendo las sumas y eliminando términos se obtiene.
Con un cambio de variable se obtiene.
N Rendijas
Para n rendijas se tiene se tiene la solución construida de la
siguiente manera, se puede observar el arreglo de las n rendijas
en la figura 4.
Donde cada uno de los sumandos representan la solución a la rejilla individual, para cada una de las integrales se observa .
Resolviendo la primera integral, segunda, hasta la enésima integral.
.
.
.
La segunda ecuación se puede reescribir de la siguiente manera.
Para la eneada ecuación.
Donde se puede observar un termino común en todas los términos, se puede reescribir la ecuación como sigue.
Recordando.
Restando las dos ecuaciones anteriores.
Si se observa la ecuación se reescribe.
en la ecuación.
Fuentes y referencias
"Optics", 2ta edición, Eugene Hecht, Alfred Zajac.
"Pinciples of optics", Max Born.