Rejillas de difracción

Definición de difracción

Es el fenómeno del movimiento ondulatorio en el que una onda de cualquier tipo se extiende después de pasar junto al borde de un objeto sólido o atravesar una rendija estrecha, en lugar de seguir avanzando en línea recta.

REJILLAS

Principio de Huygens

La regla de Huygens dice: “cada punto de un frente de onda se considere como una nueva fuente de ondas esféricas”. Llamado principio de Huygens Cuando las ondas secundarias llegan a otro medio u objeto, cada punto del límite entre los medios se convierte en una fuente de dos conjuntos de ondas. El conjunto reflejado vuelve al primer medio, y el conjunto refractado entra en el segundo medio. Es más sencillo, y a veces suficiente, representar la propagación de la luz mediante rayos en vez de ondas. El rayo es la línea de avance, o dirección de propagación, de la energía radiante. En la óptica geométrica se prescinde de la teoría ondulatoria de la luz y se supone que la luz no se difracta. La trayectoria de los rayos a través de un sistema óptico se determina aplicando las leyes de reflexión y refracción.

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huygens

Obstrucciones opacas

La difracción puede visualizarse como resultado de la interacción de ondas electromagnéticas con alguna clase de obstrucción física. Examinando la pantalla en una escala submicroscópica, imaginemos que debido al campo eléctrico de la radiación incidente la nube electrónica de cada átomo vibre. El modelo clásico, que habla de osciladores electrónicos que vibran y vuelven a emitir con la frecuencia de la fuente sirve muy bien, así que no necesitamos preocuparnos por la descripción cuántica.La amplitud y fase de un oscilador particular dentro de la pantalla están determinadas por el campo eléctrico local que las rodea, siendo éste una superposición del campo incidente y de los campos de todos los otros electrones vibrantes. Una pantalla grande opaca sin aberturas, hecha de papel negro o de hoja de aluminio, tiene un efecto obvio: no hay campo óptico en la región situada detrás de ella. Los electrones que se hallan cerca de la superficie iluminada se ponen a oscilar con la luz incidente, emitiendo energía radiante que es finalmente reflejada hacia atrás o absorbida por el material en forma de calor o ambas cosas.

Difracción de Fraunhofer y Fresnel

Imaginemos que tenemoss una pantalla opaca,$\sum \,\!$,que contiene una sola abertura pequeña iluminada por ondas planas de una fuente puntual,S, muy lejana. (figura 10.4)

Sucesión

(Fotos de un tanque de ondas. En un caso, las ondas se difractan simplemente por una rendija, en el otro varias fuentes puntuales, igualmente espaciadas, se extienden sobre la abertura y generan una figura similar.)

El plano de observaciones $\sigma \,\!$ es una pantalla paralela y muy cercana a ,$\sum \,\!$. Bajo estas condiciones, se prollecta sobre la pantalla una imagen de la abertura que es claramente reconocible a pesar de unas pequeñas franjas que se ven alrededor de su periferia (fig 10.5).

difracción a distancias

(Una sucesión de distribuciones de difracción a distancias crecientes de una rendija única.)

Este fenómeno se denomina difracción de Fresnel o de campo cercano. Si se va alejando aún más el plano de observación, se producirá un cambio continuo en las franjas. A una gran distancia de ,$\sum \,\!$ la distribución proyectada se habrá extendido considerablemente, teniendo muy poco o nada de parecido con la abertura real. De ahí en adelante, el movimiento de ,$\sigma \,\!$ cambia esencialmente sólo el tamaño de la distribución y no su forma. Consideremos una fuente puntual S y un punto de observación P, donde ambos estén muy lejos de ,$\sum \,\!$ y donde no haya lentes. (fig 10.1).

sombra

(a) la sombra de la mano de Maria sujetando una moneda, proyectada directamente en una película. (b) difracción de Fresnel de electrones producida por cristales de óxido de cinc. Siempre que la onda incidente y la emitida sean planas (difiriendo de ello en una pequeña fracción de la longitud de onda) en la extensión de las aberturas difractoras (u obstáculos), se obtiene la difracción de Fraunhofer.

Varios osciladores coherentes

La ilustración (10.7) muestra un conjunto lineal de N osciladores puntuales coherentes (o antenas emisoras), todos ellos idénticos incluso en su polarización. Todos los rayos que se muestran son casi paralelos, encontrándose en un punto P muy distante. Si la extensión espacial del conjunto es comparativamente pequeña, las amplitudes de onda individuales que lleguen a P serán esencialmente iguales, habiendo recorrido casi las mismas distancias, esto es

osciladores

(Disposición lineal de osciladores coherentes en fase: (a)Obsérvese que en el ángulo mostrado $\delta =\pi$ mientras que en $\theta =0$, $\delta \,$ sería cero. (b) Una de las muchas series de frentes de onda emitidos por una línea de fuentes coherentes.)

La suma de los trenes de onda esféricos interferentes produce un campo eléctrico en P proporcionado por la parte real de

$E={E_{o}(r)e^{i(kr_{1}-\omega *t)}}+{E_{o}(r)e^{i(kr_{2}-\omega *t)}}+{...}+{E_{o}(r)e^{i(kr_{N}-\omega *t)}}$

La diferencia de fase entre fuentes adyacentes se obtiene de la expresión $\delta ={k_{o}A}$, y puesto que $A={ndsen\theta }$, en un medio con índice $n,\delta ={kdsen\theta }$. Utilizando la(fig.10.7),se deduce que $\delta ={k(r_{2}-r_{1})}$, $2\delta ={k(r_{3}-r_{1})}$,etc.Entonces, el campo en P puede escribirse como

$E={E_{o}(r)e^{-i\omega *t)}{e^{ikr_{1}}}}$

X $[1+(e^{i\delta })+(e^{i\delta })^{2}+(e^{i\delta })^{3}+{...}+(e^{i\delta })^{N-1}]$

La serie geométrica entre paréntesis tiene el valor

${(e^{i\delta {N}}-1)}{(e^{i\delta }-1)}$

que puede ordenarse así: ()

o de manera equivalente Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \frac{{{e^i{(N-1){\delta}/{2}}}} \frac{senN{\delta}/{2}}{sen{\delta}/{2}}}

Entonces el campo se transforma en

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle E ={{{E_o(r)e^{-i\omega*t)}{e^i[kr_1+(N-1)\delta{2}]}}{{senN\delta}}{sen\delta}}

Obsérvese que si definimos R como la distancia desde el centro de la línea de los osciladore hasta el punto P, es decir

$R={1}/{2}(N-1){dsen\theta +r_{1}}$

entonces la ecuación (10.3) se convierte en

$E={E_{o}(r){e^{i}(kR-\omega *t)}}{\frac {senN{\delta }/{2}}{sen{\delta }/{2}}}$

Finalmente, la distribución de densidad de flujo dentro de la distribución de difracción debida a N fuentes puntuale distantes, idénticas y coherentes en una disposición lineal, es proporcional a ${EE*/2}$ para E compleja o

$I={I_{o}}{\frac {sen^{2}(N{\delta }/{2})}{sen^{2}({\delta }/{2})}}$

donde ${I_{o}}$ es la densidad de flujo que saliendo desde cualquier fuente puntual llegue a P . La dependencia funcional de I con $\theta \,\!$ queda más clara en la forma

$I={I_{o}}{\frac {sen^{2}[N(kd/2)sen\theta ]}{sen^{2}[(kd/2)sen\theta ]}}$

El término () se ssomete a unas fluctuaciones rápidas, mientras que la función que la modula (), varia de manera relativamente lenta. La expresión combinada da lugar a una serie de picos principales agudos separados por picos pequeños complementarios. Los máximos principales se dan en dirección ${\theta _{m}}$, tales que (), donde () Dado que $\delta ={kdsen\theta }$

$dsen\theta _{m}={m\lambda }$

Sólo exite m=0 o máximo principal de orden cero. Si estuviéramos mirando una fuente lineal idealizada de osciladores electrónicos separados por disancias atómicas, podríamos esperar sólo ese máximo principal en el campo luminoso. El conjunto de atenas de la figura(10.8) puede transmitir radiación en el haz estrecho o lóbulo que corresponde a un máximo principal. Supongamos que tenemos un sistema en el que podemos introducir un desplazamiento intrínseco de fase $\epsilon \,\!$ entre osciladores adyacentes. En ese caso () Los varios máximos principales se darán en nuevos ángulos () Centrándose en el máximo central m=0, puede variarse su orientación $\theta _{0}$ a voluntad ajustando simplemente el valor de $\epsilon \,\!$ Cada punto emite una ondita esférica que escribimos como () indicando expl+icitamente la dependencia de la amplitud con el inverso de r.La cantidad $\epsilon _{0}\,\!$ se denomina eficacia de la fuente. La contribución del segmento i a la intensidad del campo eléctrico en P es, por consiguiente, () siempre que () sea tan pequeña que la diferencia relativa de fase de los osciladores en su interior sea despreciable y sus campos se sumen constructivamente. Al mismo tiempo que N tiende a infinito, las eficacias de fuente de los osciladores individuales tienen que disminuir hasta casi cero si la salida total debe conservarse finita. Definir una constante $\epsilon _{L}\,\!$ como la eficacia de fuente por unidad de longitud de la composición, es decir, () El campo neto en P de todos los segmentos M es () La suma se transforma entonces en una integral definida ()

Difracción de Fraunhofer

La rendija única Bajo estas circunstancias r(y) nunca se desvía sensiblemente de su valor medio R, de tal manera que la cantidad Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle {{\epsilon_L\}}{R},\!} en P es esencialmente constante para todos los elementos dy. () donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{\epsilon_L\}}{R}!} dy es la amplitud de la onda. En la fig(10.10);el ancho de una abertura de este tipo puede ser de varios cientos de () y su longitud medir unos pocos centímetros. El procedimiento usual a seguir en el análisis es dividir la rendija en una serie de tiras diferenciales largas (dz por l), paralelas al eje y, como se muestra en la figura (10.11).

La doble rendija

Al principio podría parecer de la figura (10.11) que la ubicación del máximo principal está siempre en línea con el centro de la abertura difractora; esto,sin embargo, por lo general no es cierto.

distancia infinita

(a)El punto P se halla a una distancia infinita de $\sum \,\!$.

La figura de difracción está en realidad centrada alrededor del eje de la lente y tiene exactamente la misma forma y ubicación, independientemente de la posición de la rendija,siempre que no se cambie su orientación y las aproximaciones sean válidas (fig. 10.16). Supongamos ahora que tenemos dos rendijas largas de ancho b y una separación a de centro a centro (fig, 10.17).Cada abertura, por sí misma, generaría la misma figura de difracción de rendija única en la pantalla de visualización (). En cualquier punto en (), las contribuciones de las dos rendijas se superponen y, si bien la amplitud de cada cual tiene que ser esencialmente igual, sus fases pueden diferir significativamente. La contribución total al campo eléctrico, en la aproximación de Fraunhofer () La integración de la ecuación (10.22) proporciona ()

Difracción por muchas rendijas

El procedimiento para obtener la función de irradiancia para una onda monocromática difractada por muchas rendijas es esencialmente el mismo que se utilizó al analizar dos rendijas. Consideremos el caso de N rendijas estrechas, largas y paralelas, cada una de ancho b y una separación a de centro a centro, como se ilustra en la fig(10.19). ()