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Línea 32: |
Línea 32: |
| esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor. | | esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor. |
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| <math>\vec{E}=0 </math> y <math>\vec{B}=0 </math> | | <math>\mathbf{E}=0 </math> y <math>\mathbf{B}=0 </math> |
| luego las condiciones de frontera en el interior del conductor serán : | | luego las condiciones de frontera en el interior del conductor serán : |
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| <math>\vec E_{paralelo} = 0\quad\quad \quad (i)</math> | | <math>\mathbf E_{paralelo} = 0\quad\quad \quad (i)</math> |
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| <math>\vec B_{perpendicular} = 0\quad\quad \quad (ii)</math> | | <math>\mathbf B_{perpendicular} = 0\quad\quad \quad (ii)</math> |
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| Entonces estamos buscando expresiones del tipo | | Entonces estamos buscando expresiones del tipo |
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| <math>\vec{E}{(\mathbf{r,t}) = E_0(\mathbf{x,y}) } e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})}\quad\quad \quad (I)</math> | | <math>\mathbf{E}{(\mathbf{r},t) = E_0(\mathbf{x,y}) } e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})}\quad\quad \quad (I)</math> |
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| <math>\vec{B}{(\mathbf{r,t}) = B_0(\mathbf{x,y}) } e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})}\quad\quad \quad (II)</math> | | <math>\mathbf{B}{(\mathbf{r},t) = B_0(\mathbf{x,y}) } e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})}\quad\quad \quad (II)</math> |
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| donde consideramos | | donde consideramos |
Línea 55: |
Línea 55: |
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| <math>\vec{E_0} = E_x(\mathbf{x,y})x + E_y(\mathbf{x,y})y +E_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (\star )</math> | | <math>\mathbf{E_0} = E_x(\mathbf{x,y})x + E_y(\mathbf{x,y})y +E_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (\star )</math> |
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| <math>\vec{B_0} = B_x(\mathbf{x,y})x + B_y(\mathbf{x,y})y +B_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (\star\star)</math> | | <math>\mathbf{B_0} = B_x(\mathbf{x,y})x + B_y(\mathbf{x,y})y +B_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (\star\star)</math> |
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| Comencemos demostrando que I satisface a 3, esto es que . | | Comencemos demostrando que I satisface a 3, esto es que . |
Línea 65: |
Línea 65: |
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| <math>\nabla\times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial\mathbf{t}} </math> ⇒<center><math>\nabla\times \vec{E_x}= \frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{y}}-\frac{\partial\vec{E_y}}{\partial\mathbf{z}}=(\frac{\partial\vec{E_0z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{E_0y})e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})} </math></center> ⇒ | | <math>\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial\mathbf{t}} </math> ⇒<center><math>\nabla\times \mathbf{E_x}= \frac{\partial\mathbf{E_z}}{\partial\mathbf{y}}-\frac{\partial\mathbf{E_y}}{\partial\mathbf{z}}=(\frac{\partial\mathbf{E_0z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\mathbf{E_0y})e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})} </math></center> ⇒ |
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| <center><math>(\frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{E_y})=iw\mathbf{B_z} </math></center>. | | <center><math>(\frac{\partial\mathbf{E_z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\mathbf{E_y})=iw\mathbf{B_z} </math></center>. |
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| <center><math>\nabla\times \vec{E_y}= \frac{\partial\vec{E_x}}{\partial\mathbf{z}}-\frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{x}}=(ik\vec{E_0x} - \frac{\partial\vec{E_0z}}{\partial\mathbf{x}})e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})}</math></center> ⇒ | | <center><math>\nabla\times \mathbf{E_y}= \frac{\partial\mathbf{E_x}}{\partial\mathbf{z}}-\frac{\partial\mathbf{E_z}}{\partial\mathbf{x}}=(ik\mathbf{E_0x} - \frac{\partial\mathbf{E_0z}}{\partial\mathbf{x}})e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})}</math></center> ⇒ |
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| <center><math>(ik\vec{E_x}-\frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{x}})=iw\vec{B_y} </math></center>. | | <center><math>(ik\mathbf{E_x}-\frac{\partial\mathbf{E_z}}{\partial\mathbf{x}})=iw\mathbf{B_y} </math></center>. |
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| De manera que | | De manera que |
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| <center><math>\nabla\times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial\mathbf{t}}= iw\vec{B_y}e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})} </math></center> | | <center><math>\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial\mathbf{t}}= iw\mathbf{B_y}e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})} </math></center> |
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| y el mismo procedimiento se le aplica a | | y el mismo procedimiento se le aplica a |
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| <math>\nabla\times \vec{E}=\frac{1}{\mathrm{c}^2} \frac{\partial\vec{E}}{\partial\mathbf{t}} </math> | | <math>\nabla\times \mathbf{E}=\frac{1}{\mathrm{c}^2} \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial\mathbf{t}} </math> |
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| ⇒ | | ⇒ |
| <center><math>\nabla\times \vec{B_x}= \frac{\partial\vec{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-\frac{\partial\vec{B_y}}{\partial\mathbf{z}}=(\frac{\partial\vec{B_0z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{B_0y})e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})}</math></center> ⇒ | | <center><math>\nabla\times \mathbf{B_x}= \frac{\partial\mathbf{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-\frac{\partial\mathbf{B_y}}{\partial\mathbf{z}}=(\frac{\partial\mathbf{B_0z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\mathbf{B_0y})e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})}</math></center> ⇒ |
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| <center><math>(\frac{\partial\vec{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{B_y})=-iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_z} </math></center>. | | <center><math>(\frac{\partial\mathbf{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\mathbf{B_y})=-iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \mathbf{E_z} </math></center>. |
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| Continuando con este mismo proceso , obtenemos lo siguiente : | | Continuando con este mismo proceso , obtenemos lo siguiente : |
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| 1)<math>{\partial_x\vec{E_y}}-{\partial_y\vec{E_x}}= iw\vec{B_z}</math> | | 1)<math>{\partial_x\mathbf{E_y}}-{\partial_y\mathbf{E_x}}= iw\mathbf{B_z}</math> |
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| 2)<math>{\partial_y\vec{E_z}}-ik\vec{E_y}= iw\vec{B_x}</math> | | 2)<math>{\partial_y\mathbf{E_z}}-ik\mathbf{E_y}= iw\mathbf{B_x}</math> |
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| 3)<math>ik\vec{E_x}-{\partial_x\vec{E_z}}= iw\vec{B_y}</math> | | 3)<math>ik\mathbf{E_x}-{\partial_x\mathbf{E_z}}= iw\mathbf{B_y}</math> |
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| ---- | | ---- |
| 4)<math>{\partial_x\vec{B_y}}-{\partial_y\vec{B_x}}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_z}</math> | | 4)<math>{\partial_x\mathbf{B_y}}-{\partial_y\mathbf{B_x}}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \mathbf{E_z}</math> |
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| 5)<math>{\partial_y\vec{B_z}}-ik\vec{B_y}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_x}</math> | | 5)<math>{\partial_y\mathbf{B_z}}-ik\mathbf{B_y}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \mathbf{E_x}</math> |
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| 6)<math>ik\vec{B_x}-{\partial_x\vec{B_z}}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_y}</math> | | 6)<math>ik\mathbf{B_x}-{\partial_x\mathbf{B_z}}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \mathbf{E_y}</math> |
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| Ya con estas ecuaciones, queremos encontrar <math>\vec{E_x}, \vec{E_y},\vec{B_x}, \vec{B_y}</math>, en términos de <math>\vec{E_z}, \vec{B_z}</math>. | | Ya con estas ecuaciones, queremos encontrar <math>\mathbf{E_x}, \mathbf{E_y},\mathbf{B_x}, \mathbf{B_y}</math>, en términos de <math>\mathbf{E_z}, \mathbf{B_z}</math>. |
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Línea 114: |
Línea 114: |
| tenemos: | | tenemos: |
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| <center><math>\vec{E_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_x\vec{E_z}}+w{\partial_y\vec{B_z}} ) </math></center> | | <center><math>\mathbf{E_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_x\mathbf{E_z}}+w{\partial_y\mathbf{B_z}} ) </math></center> |
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| <center><math>\vec{E_y}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_y\vec{E_z}}-w{\partial_x\vec{B_z}} ) </math></center> | | <center><math>\mathbf{E_y}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_y\mathbf{E_z}}-w{\partial_x\mathbf{B_z}} ) </math></center> |
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| <center><math>\vec{B_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_x\vec{B_z}}-\frac{w}{\mathrm{c}^2}{\partial_y\vec{E_z}})</math></center> | | <center><math>\mathbf{B_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_x\mathbf{B_z}}-\frac{w}{\mathrm{c}^2}{\partial_y\mathbf{E_z}})</math></center> |
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| <center><math>\vec{B_y}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_y\vec{B_z}}+\frac{w}{\mathrm{c}^2}{\partial_x\vec{E_z}})</math></center>. | | <center><math>\mathbf{B_y}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_y\mathbf{B_z}}+\frac{w}{\mathrm{c}^2}{\partial_x\mathbf{E_z}})</math></center>. |
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| Sustituyendo estos resultados en | | Sustituyendo estos resultados en |
| <math>\nabla\cdot\vec{E}=0=\nabla\cdot\vec{B}</math> , tenemos. | | <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=0=\nabla\cdot\mathbf{B}</math> , tenemos. |
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| <center><math>\nabla\cdot\vec{E} = {\partial_x\vec{E_x}}+{\partial_y\vec{E_y}}+{\partial_z\vec{E_z}} = ({\partial_x\vec{E_x}}+{\partial_y\vec{E_y}}+ ik\vec{E_0z})e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})}= 0</math> </center> | | <center><math>\nabla\cdot\mathbf{E} = {\partial_x\mathbf{E_x}}+{\partial_y\mathbf{E_y}}+{\partial_z\mathbf{E_z}} = ({\partial_x\mathbf{E_x}}+{\partial_y\mathbf{E_y}}+ ik\mathbf{E_0z})e^{i(\mathbf{k \cdot z- \omega t})}= 0</math> </center> |
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| ⇒ | | ⇒ |
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| <center><math>({\partial_x\vec{E_x}}+{\partial_y\vec{E_y}}+ ik\vec{E_0z}) = 0 \quad\quad \quad (\diamondsuit) | | <center><math>({\partial_x\mathbf{E_x}}+{\partial_y\mathbf{E_y}}+ ik\mathbf{E_0z}) = 0 \quad\quad \quad (\diamondsuit) |
| </math></center> | | </math></center> |
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| Usando las expresiones para <math>\vec{E_x},\vec{E_y}</math> , y sustituyendo en <math>\diamondsuit</math> tenemos. | | Usando las expresiones para <math>\mathbf{E_x},\mathbf{E_y}</math> , y sustituyendo en <math>\diamondsuit</math> tenemos. |
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| <math>\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k{\partial^2_x \vec{E_z}}+w{\partial^2_xy\vec{B_z}} )+ \frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k{\partial^2_y\vec{E_z}}-w{\partial^2_xy\vec{B_z}}+ik\vec{E_z} ) = 0 </math> | | <math>\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k{\partial^2_x \mathbf{E_z}}+w{\partial^2_xy\mathbf{B_z}} )+ \frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k{\partial^2_y\mathbf{E_z}}-w{\partial^2_xy\mathbf{B_z}}+ik\mathbf{E_z} ) = 0 </math> |
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Línea 144: |
Línea 144: |
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| <center><math>{\partial^2_y\vec{E_z}}+{\partial^2_x\vec{E_z}}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]\vec{E_z}=0</math></center> | | <center><math>{\partial^2_y\mathbf{E_z}}+{\partial^2_x\mathbf{E_z}}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]\mathbf{E_z}=0</math></center> |
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| ⇒ | | ⇒ |
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| <center><math>{{\partial^2_y}+{\partial^2_x}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\vec{E_z}=0\quad\quad\quad (a)</math></center>. | | <center><math>{{\partial^2_y}+{\partial^2_x}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\mathbf{E_z}=0\quad\quad\quad (a)</math></center>. |
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| y al hacerlo para | | y al hacerlo para |
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| <math>\nabla\cdot \vec{B}=0</math> , obtenemos algo similar: | | <math>\nabla\cdot \mathbf{B}=0</math> , obtenemos algo similar: |
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| <center><math>{{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\vec{B_z}=0\quad\quad\quad (b)</math></center>. | | <center><math>{{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\mathbf{B_z}=0\quad\quad\quad (b)</math></center>. |
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| De (a) y (b) , podemos decir lo siguiente: | | De (a) y (b) , podemos decir lo siguiente: |
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| Si <math>\vec{E_z}= 0</math> , llamamos TE (onda transversal eléctrica) | | Si <math>\mathbf{E_z}= 0</math> , llamamos TE (onda transversal eléctrica) |
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| Si <math>\vec{B_z}= 0</math> , llamamos TM (onda transversal magnética) | | Si <math>\mathbf{B_z}= 0</math> , llamamos TM (onda transversal magnética) |
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| Si <math>\vec{E_z}=\vec{B_z}= 0</math> , llamamos TEM (onda transversal electromagnética) , | | Si <math>\mathbf{E_z}=\mathbf{B_z}= 0</math> , llamamos TEM (onda transversal electromagnética) , |
| sin embargo se puede ver que el tipo de onda TEM , no puede existir en una guía de onda. | | sin embargo se puede ver que el tipo de onda TEM , no puede existir en una guía de onda. |
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Línea 181: |
Línea 181: |
| Tenemos una guía de dimensiones <math> a \times \ b </math> | | Tenemos una guía de dimensiones <math> a \times \ b </math> |
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| Supongamos que nuestra onda que incide en la guía es del tipo TE, es decir, <math>\vec{E_z}= 0</math> | | Supongamos que nuestra onda que incide en la guía es del tipo TE, es decir, <math>\mathbf{E_z}= 0</math> |
| , entonces resolvemos (b) | | , entonces resolvemos (b) |
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| <center><math>{{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\vec{B_z}=0\quad\quad\quad (b)</math></center>. | | <center><math>{{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\mathbf{B_z}=0\quad\quad\quad (b)</math></center>. |
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| cuya condicion de frontera es | | cuya condicion de frontera es |
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| <math>\vec E_{paralelo} = 0\quad\quad \quad (i)</math> | | <math>\mathbf{E_{paralelo}} = 0\quad\quad \quad (i)</math> |
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| Ahora proponemos una solución para (b) | | Ahora proponemos una solución para (b) |
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| <center><math>\vec{B_z}(x,y)=X(x)Y(y)</math></center>. | | <center><math>\mathbf{B_z}(x,y)=X(x)Y(y)</math></center>. |
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| Sustituyendo en (b), tenemos que | | Sustituyendo en (b), tenemos que |
Línea 241: |
Línea 241: |
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| <center> <math> \vec{B_z}= B_0 \cos (\frac{\mathrm{m}\pi}{a})x \cos (\frac{\mathrm{n}\pi}{b})x</math></center>. | | <center> <math> \mathbf{B_z}= B_0 \cos (\frac{\mathrm{m}\pi}{a})x \cos (\frac{\mathrm{n}\pi}{b})x</math></center>. |
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Línea 276: |
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| [[Archivo:bode9.gif|center|thumb|450px|]]
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| A <math> \mathit{W_mn} </math> , se le define como frecuencia de corte para el modo <math> \mathit{mn} </math> , la frecuencia de corte mas baja es para el modo <math> \mathit{TE_10} </math> . | | A <math> \mathit{W_mn} </math> , se le define como frecuencia de corte para el modo <math> \mathit{mn} </math> , la frecuencia de corte mas baja es para el modo <math> \mathit{TE_10} </math> . |
| <math> \mathit{W_mn} = (\frac{\mathrm{c}\pi}{a}) </math> , a frecuencias mas bajas que esta , no hay propagación. | | <math> \mathit{W_mn} = (\frac{\mathrm{c}\pi}{a}) </math> , a frecuencias mas bajas que esta , no hay propagación. |
Guías de onda
Las guías de onda se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell.
Comencemos escribiendolas:
Ahora suponemos un conductor perfecto
esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor.
y
luego las condiciones de frontera en el interior del conductor serán :
Entonces estamos buscando expresiones del tipo
donde consideramos
.
Tanto I como II deben satisfacer las ecuaciones de maxwell, asi pues debemos encontrar y tal que satisfagan las ecuaciones (1-4),sujetas a las condiciones de fronteras i) y ii).
Ahora re-escribimos y de la siguiente manera:
Comencemos demostrando que I satisface a 3, esto es que .
⇒
⇒
.
⇒
.
De manera que
y el mismo procedimiento se le aplica a
⇒
⇒
.
Continuando con este mismo proceso , obtenemos lo siguiente :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Ya con estas ecuaciones, queremos encontrar , en términos de .
Resolviendo el conjunto de ecuaciones de la 1-6.
tenemos:
.
Sustituyendo estos resultados en
, tenemos.
⇒
Usando las expresiones para , y sustituyendo en tenemos.
ó
⇒
.
y al hacerlo para
, obtenemos algo similar:
.
De (a) y (b) , podemos decir lo siguiente:
Si , llamamos TE (onda transversal eléctrica)
Si , llamamos TM (onda transversal magnética)
Si , llamamos TEM (onda transversal electromagnética) ,
sin embargo se puede ver que el tipo de onda TEM , no puede existir en una guía de onda.
Archivo:TEM.gif Durante la propagación de la onda, el campo electrico (rayas rojas) oscila en un eje perpendicular a la dirección de propagación. El campo magnético (rayas azules) también oscila pero en dirección perpendicular al campo eléctrico.
Ejemplo clásico
Guía de onda rectangular
Tenemos una guía de dimensiones
Supongamos que nuestra onda que incide en la guía es del tipo TE, es decir,
, entonces resolvemos (b)
.
cuya condicion de frontera es
Ahora proponemos una solución para (b)
.
Sustituyendo en (b), tenemos que
y
con
entonces la solucion para X sera :
,
usando condiciones a la frontera ,
y ,
Hacemos el mismo procedimiento para Y
,
.
De esta ecuacuación notamos los modos normales , a esta solución se lo conoce como modo, donde al menos un indice debe ser distinto de 0.
Ahora de , se tiene que
Notemos que si
, lo cual implica una onda atenuada, este tema no se verá a fondo solo se menciona el comportamiento de una onda atenuada.
Entonces si
A , se le define como frecuencia de corte para el modo , la frecuencia de corte mas baja es para el modo .
, a frecuencias mas bajas que esta , no hay propagación.