Radiacion: Guias de onda

Guías de onda

Las guías de onda se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell.

Comencemos escribiendolas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot \vec{E}=0\quad\quad \quad (1)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot \vec{B}=0\quad\quad \quad (2)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial\mathbf{t}}\quad\quad \quad (3)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times \vec{E}=\frac{1}{\mathrm{c}^2} \frac{\partial\vec{E}}{\partial\mathbf{t}}\quad\quad \quad (4)

Ahora suponemos un conductor perfecto

esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{E}=0 
 y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B}=0 

luego las condiciones de frontera en el interior del conductor serán :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec E_{paralelo} = 0\quad\quad \quad (i)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec B_{perpendicular} = 0\quad\quad \quad (ii)

Entonces estamos buscando expresiones del tipo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{E}{(\mathbf{r,t}) = E_0(\mathbf{x,y}) } e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}\quad\quad \quad (I)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B}{(\mathbf{r,t}) = B_0(\mathbf{x,y}) } e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}\quad\quad \quad (II)

donde consideramos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{k} \in\ Re .

Tanto I como II deben satisfacer las ecuaciones de maxwell, asi pues debemos encontrar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_{0(r)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): B_{0(r)} tal que satisfagan las ecuaciones (1-4),sujetas a las condiciones de fronteras i) y ii).

Ahora re-escribimos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_{0(r)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): B_{0(r)} de la siguiente manera:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{E_0} = E_x(\mathbf{x,y})x + E_y(\mathbf{x,y})y +E_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (\star )

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B_0} = B_x(\mathbf{x,y})x + B_y(\mathbf{x,y})y +B_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (\star\star)

Comencemos demostrando que I satisface a 3, esto es que .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial\mathbf{t}} ⇒

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times \vec{E_x}= \frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{y}}-\frac{\partial\vec{E_y}}{\partial\mathbf{z}}=(\frac{\partial\vec{E_0z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{E_0y})e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}

⇒

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (\frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{E_y})=iw\mathbf{B_z}

.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times \vec{E_y}= \frac{\partial\vec{E_x}}{\partial\mathbf{z}}-\frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{x}}=(ik\vec{E_0x} - \frac{\partial\vec{E_0z}}{\partial\mathbf{x}})e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}

⇒

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (ik\vec{E_x}-\frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{x}})=iw\vec{B_y}

.

De manera que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial\mathbf{t}}= iw\vec{B_y}e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}

y el mismo procedimiento se le aplica a 

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times \vec{E}=\frac{1}{\mathrm{c}^2} \frac{\partial\vec{E}}{\partial\mathbf{t}}

⇒

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times \vec{B_x}= \frac{\partial\vec{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-\frac{\partial\vec{B_y}}{\partial\mathbf{z}}=(\frac{\partial\vec{B_0z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{B_0y})e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}

⇒

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (\frac{\partial\vec{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{B_y})=-iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_z}

.

Continuando con este mismo proceso , obtenemos lo siguiente :

1)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\partial_x\vec{E_y}}-{\partial_y\vec{E_x}}= iw\vec{B_z}

2)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\partial_y\vec{E_z}}-ik\vec{E_y}= iw\vec{B_x}

3)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ik\vec{E_x}-{\partial_x\vec{E_z}}= iw\vec{B_y}

---

4)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\partial_x\vec{B_y}}-{\partial_y\vec{B_x}}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_z}

5)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\partial_y\vec{B_z}}-ik\vec{B_y}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_x}

6)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ik\vec{B_x}-{\partial_x\vec{B_z}}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_y}

Ya con estas ecuaciones, queremos encontrar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{E_x}, \vec{E_y},\vec{B_x}, \vec{B_y} , en términos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{E_z}, \vec{B_z} .

Resolviendo el conjunto de ecuaciones de la 1-6. tenemos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{E_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_x\vec{E_z}}+w{\partial_y\vec{B_z}} )

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{E_y}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_y\vec{E_z}}-w{\partial_x\vec{B_z}} )

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_x\vec{B_z}}-\frac{w}{\mathrm{c}^2}{\partial_y\vec{E_z}})

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_y\vec{B_z}}+\frac{w}{\mathrm{c}^2}{\partial_x\vec{E_z}})

.

Sustituyendo estos resultados en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot\vec{E}=0=\nabla\cdot\vec{B} , tenemos.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot\vec{E} = {\partial_x\vec{E_x}}+{\partial_y\vec{E_y}}+{\partial_z\vec{E_z}} = ({\partial_x\vec{E_x}}+{\partial_y\vec{E_y}}+ ik\vec{E_0z})e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)} = 0

            ⇒

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ({\partial_x\vec{E_x}}+{\partial_y\vec{E_y}}+ ik\vec{E_0z}) = 0 \quad\quad \quad (\diamondsuit)

Usando las expresiones para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{E_x},\vec{E_y} , y sustituyendo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \diamondsuit tenemos.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial^2_x\vec{E_z}}+w{\partial^2_xy\vec{B_z}} )+ \frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k{partial^2_y\vec{E_z}}-w{\partial^2_xy\vec{B_z}}+ik\vec{E_z} ) = 0

                                    ó    

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\partial^2_y\vec{E_z}}+{\partial^2_x\vec{E_z}}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]\vec{E_z}=0

⇒

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {{\partial^2_y}+{\partial^2_x}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\vec{E_z}=0\quad\quad\quad (a)

.

y al hacerlo para

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot \vec{B}=0 , obtenemos algo similar:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\vec{B_z}=0\quad\quad\quad (b)

.

De (a) y (b) , podemos decir lo siguiente:

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{E_z}= 0 , llamamos TE (onda transversal eléctrica)

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B_z}= 0 , llamamos TM (onda transversal magnética)

Si ${\vec {E_{z}}}={\vec {B_{z}}}=0$ , llamamos TEM (onda transversal electromagnética) , sin embargo se puede ver que el tipo de onda TEM , no puede existir en una guía de onda.

(agregar imagenes y show)

Guía de onda rectangular

Tenemos una guía de dimensiones $a\times \ b$

Supongamos que nuestra onda que incide en la guía es del tipo TE, es decir, ${\vec {E_{z}}}=0$ , entonces resolvemos (b)

${{\partial _{x}^{2}}+{\partial _{y}^{2}}+[{\mathrm {(} {w/c})^{2}-k^{2}}]}{\vec {B_{z}}}=0\quad \quad \quad (b)$

.

cuya condicion de frontera es

${\vec {E}}_{paralelo}=0\quad \quad \quad (i)$

Ahora proponemos una solución para (b)

${\vec {B_{z}}}(x,y)=X(x)Y(y)$

.

Sustituyendo en (b), tenemos que

                                      $\mathrm {Y} {dx^{2}\mathrm {X} }+\mathrm {X} {dy^{2}\mathrm {Y} }+[{\mathrm {(} {w/c})^{2}-k^{2}}]\mathrm {X} \mathrm {Y} =0\quad \quad \ast$

$\Longleftrightarrow$

${\frac {1}{X}}{dx^{2}\mathrm {X} }={\mathrm {-k_{x}^{2}} }$

y  

${\frac {1}{Y}}{dy^{2}\mathrm {Y} }={\mathrm {-k_{y}^{2}} }$

con

   ${\mathrm {-k_{x}^{2}} }{\mathrm {-k_{y}^{2}} }+[{\mathrm {(} {w/c})^{2}-k^{2}}]\mathrm {X} \mathrm {Y} =0\quad \quad \quad (\diamondsuit \diamondsuit )$

entonces la solucion para X sera :

${\mathrm {X(x)} }=A\sin(k_{x}\mathrm {x} )+B\cos(k_{x}\mathrm {x} )$

,

usando condiciones a la frontera ,

$\Rightarrow$ ${\mathrm {A} }=0$ y ${\mathrm {k_{x}} }={\frac {mpi}{a}}$