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Línea 89: |
Línea 89: |
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| <center><math>(\frac{\partial\vec{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{B_y})=-iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_z} </math></center>. | | <center><math>(\frac{\partial\vec{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{B_y})=-iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_z} </math></center>. |
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| | Continuando con este mismo proceso , obtenemos lo siguiente : |
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| | 1)<math>{\partial_x\vec{E_y}}-{\partial_y\vec{E_x}}= iw\vec{B_z}</math> |
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| | 2)<math>{\partial_y\vec{E_z}}-ik\vec{E_y}= iw\vec{B_x}</math> |
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| | 3)<math>ik\vec{E_x}-{\partial_x\vec{E_z}}= iw\vec{B_y}</math> |
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| | ---- |
| | 4)<math>{\partial_x\vec{B_y}}-{\partial_y\vec{B_x}}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_z}</math> |
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| | 5)<math>{\partial_y\vec{B_z}}-ik\vec{B_y}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_x}</math> |
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| | 6)<math>ik\vec{B_x}-{\partial_x\vec{B_z}}= -iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_y}</math> |
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| | Ya con estas ecuaciones, queremos encontrar <math>\vec{E_x}, \vec{E_y},\vec{B_x}, \vec{B_y}</math>, en términos de <math>\vec{E_z}, \vec{B_z}</math>. |
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| | Resolviendo el conjunto de ecuaciones de la 1-6. |
| | tenemos: |
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| | <center><math>\vec{E_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_x\vec{E_z}}+w{\partial_y\vec{B_z}} ) </math></center> |
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| | <center><math>\vec{E_y}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_y\vec{E_z}}-w{\partial_x\vec{B_z}} ) </math></center> |
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| | <center><math>\vec{B_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_x\vec{B_z}}-\frac{w}{\mathrm{c}^2}{\partial_y\vec{E_z}})</math></center> |
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| | <center><math>\vec{B_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_y\vec{B_z}}+\frac{w}{\mathrm{c}^2}{\partial_x\vec{E_z}})</math></center>. |
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| | Sustituyendo estos resultados en |
| | <math>\nabla\cdot\vec{E}=0=\nabla\cdot\vec{B}</math> , tenemos. |
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| | <center><math>\nabla\cdot\vec{E} = {\partial_x\vec{E_x}}+{\partial_y\vec{E_y}}+{\partial_z\vec{E_z}} = ({\partial_x\vec{E_x}}+{\partial_y\vec{E_y}}+ ik\vec{E_0z})e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)} = 0</math> </center> |
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| | ⇒ |
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| | <center><math>({\partial_x\vec{E_x}}+{\partial_y\vec{E_y}}+ ik\vec{E_0z}) = 0 \quad\quad \quad (\diamondsuit) |
| | </math></center> |
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| | Usando las expresiones para <math>\vec{E_x},\vec{E_y}</math> , y sustituyendo en <math>\diamondsuit</math> tenemos. |
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| | <math>\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial^2_x\vec{E_z}}+w{\partial^2_xy\vec{B_z}} )+ \frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial^2_y\vec{E_z}}-w{\partial^2_xy\vec{B_z}}+ik\vec{E_z} ) = 0 </math> |
Guías de onda
Las guías de onda se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell.
Comencemos escribiendolas:
Ahora suponemos un conductor perfecto
esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor.
y
luego las condiciones de frontera en el interior del conductor serán :
Entonces estamos buscando expresiones del tipo
donde consideramos
.
Tanto I como II deben satisfacer las ecuaciones de maxwell, asi pues debemos encontrar y tal que satisfagan las ecuaciones (1-4),sujetas a las condiciones de fronteras i) y ii).
Ahora re-escribimos y de la siguiente manera:
Error al representar (error de sintaxis): \vec{E_0} = E_x(\mathbf{x,y})x + E_y(\mathbf{x,y})y +E_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (1´)
Error al representar (error de sintaxis): \vec{B_0} = B_x(\mathbf{x,y})x + B_y(\mathbf{x,y})y +B_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (2´)
Comencemos demostrando que I satisface a 3, esto es que .
⇒
⇒
.
⇒
.
De manera que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial\mathbf{t}}= iw\vec{B_y}e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}
y el mismo procedimiento se le aplica a
⇒
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times \vec{B_x}= \frac{\partial\vec{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-\frac{\partial\vec{B_y}}{\partial\mathbf{z}}=(\frac{\partial\vec{B_0z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{B_0y})e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}
⇒
.
Continuando con este mismo proceso , obtenemos lo siguiente :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Ya con estas ecuaciones, queremos encontrar , en términos de .
Resolviendo el conjunto de ecuaciones de la 1-6.
tenemos:
.
Sustituyendo estos resultados en
, tenemos.
⇒
Usando las expresiones para , y sustituyendo en tenemos.