Radiacion: Guias de onda

Guías de onda

Las guías de onda se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell.

Comencemos escribiendolas:

$\nabla \cdot {\vec {E}}=0\quad \quad \quad (1)$

$\nabla \cdot {\vec {B}}=0\quad \quad \quad (2)$

$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial \mathbf {t} }}\quad \quad \quad (3)$

$\nabla \times {\vec {E}}={\frac {1}{\mathrm {c} ^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial \mathbf {t} }}\quad \quad \quad (4)$

Ahora suponemos un conductor perfecto

esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor.

${\vec {E}}=0$ y ${\vec {B}}=0$

luego las condiciones de frontera en el interior del conductor serán :

${\vec {E}}_{paralelo}=0\quad \quad \quad (i)$

${\vec {B}}_{perpendicular}=0\quad \quad \quad (ii)$

Entonces estamos buscando expresiones del tipo

${\vec {E}}{(\mathbf {r,t} )=E_{0}(\mathbf {x,y} )}e^{\mathbf {i(k\ z-\omega t)} }\quad \quad \quad (I)$

${\vec {B}}{(\mathbf {r,t} )=B_{0}(\mathbf {x,y} )}e^{\mathbf {i(k\ z-\omega t)} }\quad \quad \quad (II)$

donde consideramos $\mathbf {k} \in \ Re$.

Tanto I como II deben satisfacer las ecuaciones de maxwell, asi pues debemos encontrar $E_{0(r)}$ y $B_{0(r)}$ tal que satisfagan las ecuaciones (1-4),sujetas a las condiciones de fronteras i) y ii).

Ahora re-escribimos $E_{0(r)}$ y $B_{0(r)}$ de la siguiente manera:

Error al representar (error de sintaxis): \vec{E_0} = E_x(\mathbf{x,y})x + E_y(\mathbf{x,y})y +E_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (1´)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B_0} = B_x(\mathbf{x,y})x + B_y(\mathbf{x,y})y +B_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (2´)

Comencemos demostrando que I satisface a 3, esto es que .

$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial \mathbf {t} }}$ ⇒

$\nabla \times {\vec {E_{x}}}={\frac {\partial {\vec {E_{z}}}}{\partial \mathbf {y} }}-{\frac {\partial {\vec {E_{y}}}}{\partial \mathbf {z} }}=({\frac {\partial {\vec {E_{0}z}}}{\partial \mathbf {y} }}-ik{\vec {E_{0}y}})e^{\mathbf {i(k\ z-\omega t)} }$

⇒

$({\frac {\partial {\vec {E_{z}}}}{\partial \mathbf {y} }}-ik{\vec {E_{y}}})=iw\mathbf {B_{z}}$

.

$\nabla \times {\vec {E_{y}}}={\frac {\partial {\vec {E_{x}}}}{\partial \mathbf {z} }}-{\frac {\partial {\vec {E_{z}}}}{\partial \mathbf {x} }}=(ik{\vec {E_{0}x}}-{\frac {\partial {\vec {E_{0}z}}}{\partial \mathbf {x} }})e^{\mathbf {i(k\ z-\omega t)} }$

⇒

$(ik{\vec {E_{x}}}-{\frac {\partial {\vec {E_{z}}}}{\partial \mathbf {x} }})=iw{\vec {B_{y}}}$

.

De manera que

$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial \mathbf {t} }}=iw{\vec {B_{y}}}e^{\mathbf {i(k\ z-\omega t)} }$

y el mismo procedimiento se le aplica a 

$\nabla \times {\vec {E}}={\frac {1}{\mathrm {c} ^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial \mathbf {t} }}$

⇒

$\nabla \times {\vec {B_{x}}}={\frac {\partial {\vec {B_{z}}}}{\partial \mathbf {y} }}-{\frac {\partial {\vec {B_{y}}}}{\partial \mathbf {z} }}=({\frac {\partial {\vec {B_{0}z}}}{\partial \mathbf {y} }}-ik{\vec {B_{0}y}})e^{\mathbf {i(k\ z-\omega t)} }$

⇒

$({\frac {\partial {\vec {B_{z}}}}{\partial \mathbf {y} }}-ik{\vec {B_{y}}})=-iw{\frac {1}{\mathrm {c} ^{2}}}{\vec {E_{z}}}$

.