Radiacion: Guias de onda

Guías de onda

Las guías de onda se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell.

Comencemos escribiendolas:

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0\quad \quad \quad (1)$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0\quad \quad \quad (2)$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial \mathbf {t} }}\quad \quad \quad (3)$

$\nabla \times \mathbf {E} ={\frac {1}{\mathrm {c} ^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial \mathbf {t} }}\quad \quad \quad (4)$

Ahora suponemos un conductor perfecto

Archivo:Guia.png

Guia conductora

esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor.

$\mathbf {E} =0$ y $\mathbf {B} =0$

luego las condiciones de frontera en el interior del conductor serán :

$E_{paralelo}=0\quad \quad \quad (i)$

$B_{perpendicular}=0\quad \quad \quad (ii)$

Entonces estamos buscando expresiones del tipo

$\mathbf {E(\mathbf {r,t} )=E_{0}(\mathbf {x,y} )} e^{\mathbf {i(k\ z-\omega t)} }\quad \quad \quad (I)$

$\mathbf {B(\mathbf {r,t} )=B_{0}(\mathbf {x,y} )} e^{\mathbf {i(k\ z-\omega t)} }\quad \quad \quad (II)$

donde consideramos $\mathbf {k} \in \ Re$.

Tanto I como II deben satisfacer las ecuaciones de maxwell, asi pues debemos encontrar $E_{0(r)}$ y $B_{0(r)}$ tal que satisfagan las ecuaciones (1-4),sujetas a las condiciones de fronteras i) y ii).

Ahora re-escribimos $E_{0(r)}$ y $B_{0(r)}$ de la siguiente manera:

Error al representar (error de sintaxis): \mathbf{E_0} = E_x(\mathbf{x,y})x + E_y(\mathbf{x,y})y +E_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (1´)

Error al representar (error de sintaxis): \mathbf{B_0} = B_x(\mathbf{x,y})x + B_y(\mathbf{x,y})y +B_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (2´)

Comencemos demostrando que I satisface a 3, esto es que .

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial \mathbf {t} }}$ ⇒

$\nabla \times \mathbf {E_{x}} ={\frac {\partial \mathbf {E_{z}} }{\partial \mathbf {y} }}-{\frac {\partial \mathbf {E_{y}} }{\partial \mathbf {z} }}=({\frac {\partial \mathbf {E_{0}z} }{\partial \mathbf {y} }}-ik\mathbf {E_{0}y} )e^{\mathbf {i(k\ z-\omega t)} }$

⇒

$({\frac {\partial \mathbf {E_{z}} }{\partial \mathbf {y} }}-ik\mathbf {E_{y}} )=iw\mathbf {B_{z}}$