Problema de Dirichlet para una cuña
El potencial $\phi\left(\theta\right)$entre las dos placas de longitud infinita que forman la cuña infinita donde $x=y$ en el primer cuadrante satisface la ecuación de Laplace en coordenadas polares en la forma
$\frac{d^{2}\phi}{d\theta^{2}}=0$
Resolver la ecuación diferencial sujeta a las condiciones de frontera
$\phi\left(\frac{\pi}{4}\right)=30$ y $\phi\left(0\right)=0$
Solución:
Datos:
Tenemos la ecuación de Laplace en coordenadas polares
$\frac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}\phi}{\partial\theta}=0$
$\phi\left(r,0\right)=0$ $\phi\left(r,\frac{\pi}{4}\right)=30$
con $0<r<\infty$
Sacando la pendiente m tenemos
Ya que tenemos $x=y=45^{0}=\frac{\pi}{4}$
$m=\frac{30}{\frac{\pi}{4}}\frac{120}{\pi}$
$\psi\left(\theta\right)=\frac{120\theta}{\pi}$
$\phi\left(r,\theta\right)=v\left(r,\theta\right)+\psi\left(\theta\right)$
$\phi\left(r,0\right)=v\left(r,0\right)+\psi\left(o\right)=0$
$\phi\left(r,\frac{\pi}{4}\right)=v\left(r,\frac{\pi}{4}\right)+\psi\left(\frac{\pi}{4}\right)=30$
entonces tenemos:
$\frac{\partial\phi}{\partial r}=\frac{\partial v}{\partial r}$ $\frac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}=\frac{\partial^{2}v}{\partial r^{2}}$
$\frac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}=\frac{\partial v}{\partial\theta}+\psi^{,}\left(\theta\right)$
$\frac{\partial^{2}\phi}{\partial\theta^{2}}=\frac{\partial^{2}v}{\partial\theta^{2}}+\psi^{,,}\left(\theta\right)$
entonces:
$\frac{\partial^{2}v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}v}{\partial\theta^{2}}=0$
$v\left(r,0\right)=0$ $v\left(r,\frac{\pi}{4}\right)=0$
y así tenemos
$\psi\left(\theta\right)=\frac{120\theta}{\pi}$
por lo tanto
$\phi\left(r,\theta\right)=\frac{120\theta}{\pi}$ satisface la ecuación de Laplace en coordenadas polares
Aportación por Usuario: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:23 5 jul 2015 (CDT)