Problema de Dirichlet para una cuña

El potencial $\phi\left(\theta\right)$entre las dos placas de longitud infinita que forman la cuña infinita donde $x=y$ en el primer cuadrante satisface la ecuación de Laplace en coordenadas polares en la forma

$\frac{d^{2}\phi}{d\theta^{2}}=0$

Resolver la ecuación diferencial sujeta a las condiciones de frontera

$\phi\left(\frac{\pi}{4}\right)=30$ y $\phi\left(0\right)=0$

Solución:

Datos:

Tenemos la ecuación de Laplace en coordenadas polares

$\frac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}\phi}{\partial\theta}=0$

$\phi\left(r,0\right)=0$ $\phi\left(r,\frac{\pi}{4}\right)=30$

con $0<r<\infty$

Sacando la pendiente m tenemos

Ya que tenemos $x=y=45^{0}=\frac{\pi}{4}$

$m=\frac{30}{\frac{\pi}{4}}\frac{120}{\pi}$

$\psi\left(\theta\right)=\frac{120\theta}{\pi}$

$\phi\left(r,\theta\right)=v\left(r,\theta\right)+\psi\left(\theta\right)$

$\phi\left(r,0\right)=v\left(r,0\right)+\psi\left(o\right)=0$

$\phi\left(r,\frac{\pi}{4}\right)=v\left(r,\frac{\pi}{4}\right)+\psi\left(\frac{\pi}{4}\right)=30$

entonces tenemos:

$\frac{\partial\phi}{\partial r}=\frac{\partial v}{\partial r}$ $\frac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}=\frac{\partial^{2}v}{\partial r^{2}}$

$\frac{\partial^{2}\phi}{\partial r^{2}}=\frac{\partial v}{\partial\theta}+\psi^{,}\left(\theta\right)$

$\frac{\partial^{2}\phi}{\partial\theta^{2}}=\frac{\partial^{2}v}{\partial\theta^{2}}+\psi^{,,}\left(\theta\right)$

entonces:

$\frac{\partial^{2}v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}v}{\partial\theta^{2}}=0$

$v\left(r,0\right)=0$ $v\left(r,\frac{\pi}{4}\right)=0$

y así tenemos

$\psi\left(\theta\right)=\frac{120\theta}{\pi}$

por lo tanto

$\phi\left(r,\theta\right)=\frac{120\theta}{\pi}$ satisface la ecuación de Laplace en coordenadas polares

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Aportación por Usuario: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:23 5 jul 2015 (CDT)

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