Perfil De Línea Y Ensanchamiento

Ensanchamiento de líneas espectrales

Una línea espectral nunca es perfectamente monocromática, sino que tiene un ancho infinito, bien sea en escala de frecuencia o longitudes de onda. Es importente mencionar que al medir esta anchura la medición no se hace para un solo átomo, sino para todo el conglomerado de átmos que forman la fuente luminosa. El ensanchamiento se dice que es homogéneo si el ancho de la línea para el conjunto de átomos es igual al ancho de la línea de cada átomo individual, como se muestra en la figura 1.(a).El enchamiento s edice que es inhomogéneo si el ancho de la línea para el conjunto de átmos no es elproducido por cada átomo de manera individual, sino el debido a una distribuicion estadistica en sus longitudes de onda y sus irradiancias relativas, como se ve ne la figura 1.(b)

Figura 1. Tipos ensanchamiento de líneas espectrales: a)ensanchamiento homogéneo. y b) ensanchamiento inhomogéneo

El ensanchamiento homogéneo puede deberse a una o más de las siguientes causas:

a)Ensanchamiento natural

b)colisiones entre átomos, que también se conoce como ensanchamiento de presión

El ensanchamiento inhomogéneo puede deberse a las siguientes causas

a) ensanchamiento de Doppler.

b)Variaciones estadisticas en las posiciones de los niveles de energia.

Una explicaión clásica del ensanchamiento natural es que el tren de ondas no es infinitamente largo, sino corto, debido a que el oscilador sólo está emitienod la onda durante uncierto tiempo igual a la vida media del estado. Desde un punto de vista cuántico podemos pensar que ay una incertidumbre en la detemrinación del instante en el que fue emitido el fotón no esta perfectamente definida debido al principio de incertidumbre de Heinsenberg. de la figura 1) podemos ver que el ancho Δν está dado de manera aproximada por $\Delta {\nu }={\frac {c}{L}}$

Donde L es la longitud del tren d eondas, o de forma equivalente, de la ecuación $L=c{\tau }$ y si sustituimos en la ecuación anterio L obtenemos que $\Delta {\nu }={\frac {1}{\tau }}$

Donde ${\tau }$ es la vida media del estado superior. Suponiendo una curva de distribuicion gaussiona para la forma d ela línea espectral, el valor medido del ancho de la línea medido a la mitad de su irradiancia máxima recibe el nombre de ancho medido de la línea, y está dado por:

$\Delta {\nu }={\frac {c}{2\pi L}}={\frac {c}{2\pi \tau }}$

Debido a las coliciones de la línea s epuede ensanchar aún más. La interpretación clásica es que el tren d eondas se hace todavía más corto, debido a que el átomo colisiona con otro, interrupiendo así su emisión. Entonces, parte d ela energía es emitidaantes de la colisión cono luz y parte se trasnfiere al otro átomo durante ella. Eun una fuente de luz gaseosa, al aumentar la presión del gas el número de coliciones aumenta y el camino medio libre entre colisiones disminuye. El camino medio libre determina la longitud del tren d eondas. Este tipo de colición se conoce como colisión ineslastica.

Líneas espectrales

PERFIL DE LÍNEA: Es una curva que indica la variación interna de la intensidad de una línea espectral de un cuerpo

La mecánica cuántica establece que cada átomo cuenta con un conjunto de niveles de energía bien definido. El espectro de energía es discreto y las transiciones entre niveles deben seguir ciertas reglas, dependiendo del tipo de interacción que produce la excitación.

En muestras átomicas a baja presión las transiciones entre niveles de energía ocurren principalmente por absorción y emisión de radiación electromagnética. El conjunto de frecuencias de la radiación involucrada en las transiciones forma el espectro de absorción o emisión del elemento en cuestión.

Cuando un átomo interactua con radiación, existen tres procesos por los que puede cambiar de estado energético: absorción, emisión espontánea y emisión estimulada. Los cambios en energía están estrechamente relacionados con cambios en las poblaciones de los niveles átomicos.

Las líneas espectrales nunca son estrictamente monocromáticas. Al estudiar más detalladamente una transición entre los niveles inferior y superior con energías $E_{1}$ y $E_{2}$ respectivamente, se encuentra que alrededor de la frecuencia central de la transición $\ (\omega =(E_{2}-E_{1})/h)$ existe una distribución espectral I(ω). Donde h es La constante de Planck, se simbolizada con la letra h (o bien ħ=h/2π), En la vecindad de $\omega _{0}$ la función I (ω) es conocida como el perfil de línea. En la vecindad de $\omega _{0}$ la función I(ω) es conocida como el perfil de línea. El intervalo de frecuencias $\gamma =|\omega _{2}-\omega _{1}|$ entre las frecuencias $\omega _{1}$ y $\omega _{2}$ tales que $I(\omega _{1})=(\omega _{2})$ es llamado ancho completo en la mitad del máximo o simplemente el ancho de banda de la línea espectral. El significado físico del ancho de banda es la incertidumbre con que puede ser medida la frecuencia de la transición entre los niveles (1) y (2). En el caso del espectro de absorción se tiene una diferencia significativa en el comportamiento de los átomos. Cuando todos los átomos de una muestra que se encuentran en el nivel inferior $E_{1}$ tienen la misma probabilidad $P_{1}2(\omega )$ de absorber una onda electromagnética de frecuencia ω, se dice que el ensanchamiento de la línea espectral es homogéneo, en otro caso se habla de un ensanchamiento inhomogéneo.

La anchura y la forma del espectro de líneas importancia:

a) pueden proporcionar información a una temperatura , la densidad y la composición actual de la fuente

b) el cálculo detallado de la interacción de los átomos de ancho radiación requieren un conocimiento exacto del perfil de la línea

c) el perfil de la línea es importante para determinar muchas de las características de los láseres de gas.

Ancho de banda natural

Todos los espectros átomicos presentan un ensanchamiento "natural", llamado de esta manera porque su origen está intrinsecamente relacionado a las transiciones atómicas. El perfil de línea asociado a este ensanchamiento tiene como característica ser Lorentziano.

Para mostrar de manera clara el origen del ensanchamiento y el carácter Lorentziano del perfil de línea se utilizará el hecho de que la emisión y la absorción pueden ser entendidos como procesos inversos. Primero se muestra que efectivamente el perfil de línea de las líneas de emisión es Lorentziano para posteriormente describir el ensanchamiento de los espectros de absorción.

Perfil de línea Lorentziano

Ensanchamiento o desplazamiento de la líneas espectrales por colisión de partículas emisoras o absorventes con otra partícula. Un átomo excitado que decae espontáneamente a través de la transición 2 → 1, emite energía con frecuencia central $\omega _{0}={\frac {(E_{2}-E_{1})}{h^{-}}}$. Para obtener la distribución espectral que se origina en este proceso se describe al electrón excitado usando el modelo clásico del oscilador armónico amortiguado sin forzamiento de frecuencia ω, masa m, constante de restauración k y constante de amortiguamiento γ, donde esta última da cuenta de la energía radiada. En el caso de átomos reales el amortiguamiento es tan pequeño que $\gamma <<\omega$. De la mecánica clásica se tiene que la amplitud de oscilación x(t) se obtiene resolviendo la ecuación de movimiento

$x^{..}+yx^{.}+\omega _{0}^{2}=0$

donde $\omega _{0}^{2}=k/m.)$

Por lo tanto la solución de las ecuaciones anterior con condiciones x(0)= x 0 y x˙(0) = 0 es

$x(t)=x_{0}e^{-(\gamma /2)t}[cos(\omega t)+(\gamma /2\omega )sen(\omega t)]$

La frecuencia Error al representar (error de sintaxis): \omega = (\omega^2_0− \gamma^2/4)^1/2 del oscilador amortiguado es ligeramente menor que la frecuencia ω0 del oscilador sin amortiguamiento. Sin embargo, para amortiguamientos pequeños γ << ω se puede realizar la aproximación $\omega \approx \omega _{0}$ y despreciar el segundo término. Con esta aproximación la solución queda

$x(t)=x_{0}e^{-}(\gamma /2)t[cos(\omega _{0}t)$ ............... 3.1)

Figura 20: a) Oscilación amortiguada. b) Perfil de intensidad I(ω − ω0).

Debido a que la amplitud x(t) de la oscilación decrece gradualmente, la frecuencia de la radiación emitida deja de ser constante, mostrando una distribución A(ω).

Para encontrar la distribución de frecuencias se describe a la oscilación amortiguada x(t) como una superposición de oscilaciones monocromáticas exp(iωt) de frecuencia ω y amplitudes A(ω).

Para encontrar la distribución de frecuencias se describe a la oscilación amortiguada x(t) como una superposición de oscilaciones monocromáticas $e^{(i\omega t)}$ de frecuencia ω y amplitudes A(ω).

$x(t)={\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{0}^{\infty }A(\omega )e^{(i\omega t)}d(\omega )$

Las amplitudes A(ω) se calculan usando la transformada de Fourier

$A(\omega )={\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{(i\omega t)}d(t)$ .......... 3.3)

Dado que para t < 0, x(t) = 0 el límite de integración inferior puede igualarse a cero. Sustituyendo (3.1) en (3.3) e integrando se obtiene

$A(\omega$ = ${\frac {x_{0}}{\sqrt {8\pi }}}({\frac {1}{i(\omega -\omega _{0})+(\gamma /2)}}+{\frac {1}{i(\omega +\omega _{0})+(\gamma /2)}})$

La intensidad real I(ω) ∝ $A(\omega )$ *$A(\omega )$ contiene términos con $(\omega )-(\omega _{0})$ y $(\omega )+(\omega _{0})$ en el denominador. Es posible encontrar una vecindad alrededor de la frecuencia central $(\omega _{0})$ de una transición atómica donde $(\omega +\omega _{0})2$ << $(\omega _{0}^{2})$, en ese intervalo los términos con $(\omega )+(\omega _{0})$ pueden ser despreciados obteniendo para el perfil de intensidad la expresión.

$I(\omega -\omega _{0})={\frac {C}{(\omega -\omega _{0})^{2}+(\gamma /2)^{2}}}$ ......... 3.4)

La constante C puede ser definida de dos maneras:

a) A fin de comparar diferentes perfiles de línea es útil definir un perfil de intensidad normalizado $I(\omega -\omega _{0})=I(\omega -\omega _{0})/I_{0}$ donde $I_{0}=\int I(\omega )d(\omega )$ tal que

$\int \limits _{0}^{\infty }L(\omega -\omega _{0})d\omega =\int \limits _{-\infty }^{\infty }L(\omega -\omega _{0})d(\omega -\omega )=1$ tal que

con esta normalización la integral de la ecuación(3.4) da como resultado

$C={\frac {I_{0}\gamma }{(2\pi )}}$

y se tiene

$L(\omega -\omega _{0})={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\gamma }{(\omega -\omega _{0})^{2}+(\gamma /2)^{2}}}$

que es llamado el perfil Lorentziano normalizado. Su ancho de banda es ${\gamma }$

Cualquier distribución con un perfil Lorentziano es entonces de la forma

$I(\omega -\omega _{0})={\frac {I_{0}}{2\pi }}{\frac {\gamma }{(\omega -\omega _{0})^{2}+(\gamma /2)^{2}}}=I_{0}L(\omega -\omega _{0})$

cuyo máximo de intensidad es:

$I(\omega _{0})={\frac {2I_{0}}{\pi \gamma }}$

b) Frecuentemente la normalización de la ecuacion (3.4) es elegida de tal forma que $I(\omega _{0})=I_{0}$ En esta notación el perfil Lorentziano de una transicion |2| → |1| es:

$I(\omega )=I_{0}L*(\omega -\omega _{0})$ donde:

$L^{*}(\omega -\omega _{0})={\frac {(\gamma /2)^{2}}{(\omega -\omega _{0})^{2}+(\gamma /2)^{2}}}$

Haciendo el cambio de variable $x={\frac {(\omega _{0}-\omega )}{(\gamma /2}}$ se obtiene:

$L^{*}(\omega -\omega _{0})={\frac {1}{1+x^{2}}}$

con $L^{*}(\omega _{0})=1$

En esta notación la integral de I(ω) es

$\int \limits _{0}^{\infty }I(\omega )d\omega ={\frac {\gamma }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }I(x)dx=\pi I_{0}{\frac {\gamma }{2}}$

El perfil de Lorentz describe la forma de línea de una señal emitida por un sistema cuántico aislado, cuando éste decae deu n nivel excitado a un estado de menor energía

Ensanchamiento Doppler

Es la ampliación de las líneas espectrales debido al efecto Doppler causado por una distribución de velocidades de los átomos o moléculas. tambien es el ensanchamiento de una línea espectral por la superposición de los desplazamientos aleatorios de los átomos emisores o absorbentes en estado gaseoso. Presentan forma gaussiana.

Considérese una onda electromagnética plana descrita por moviendose en la dirección z del sistema de referencia de un observador en reposo, sea k = kz. Ahora colóquese un átomo en el estado base moviendose através de la onda con velocidad v = (vx, vy, vz) con respecto al mismo sistema. Por el efecto Doppler cualquier frecuencia ω en el sistema del observador sufre un corrimiento en el sistema coordenado centrado en el átomo, adquiriendo en este último el valor. ω´$=\omega -k_{z}v_{z}$

Los átomos de la muestra sólo pueden absorber si la frecuencia ω coincide con la frecuencia central de absorción $\omega _{0}$. De lo anterior se sigue que la frecuencia de absorción $\omega =\omega _{a}$ es

$\omega _{a}=\omega _{0}+k_{z}v_{z}$ ..... 1.1)

Para aquellos átomos cuya componente de velocidad vz se encuentra en la misma dirección del vector de propagación $k_{z}(k_{z}v_{z}>0)$ la frecuencia de absorción se incrementa.figura 2.1

En el caso contrario $(k_{z}v_{z}<0)$ la frecuencia de absorción disminuye.

Figura 2.1) Corrimiento Doppler de la frecuencia ω

La ecuación (1.1) puede reescribirse como

$\omega _{a}=\omega _{0}(1+{\frac {v_{z}}{c}})$ ............. 1.2

cuya diferencial es:

$d\omega ={\frac {\omega _{0}}{c}}dv_{z}$ ............. 1.3)

En equilibrio térmico, los átomos del gas siguen una distribución de velocidades Maxwelliana . A temperatura T, el número de átomos $n_{i}(v_{z})dv_{z}$ por unidad de volumen que se encuentran en el nivel Ei y cuya componente de velocidad z se encuentra entre $v_{z}$ y $vz+dv_{z}$ es:

$n_{i}(v_{z})={\frac {N_{i}}{V_{p}{\sqrt {\pi }}}}e^{(v_{z}/v_{p})^{2})}dv_{z}$ ........... 1.4)

donde:

$N_{i}=\int n_{i}(v_{z})dv_{z}$ es la densidad de todos los átomos en el nivel $E_{i}$

$v_{p}=({\frac {2KT}{m}})^{2}$ es la velocidad más probable

m es la masa del átomo

k es la constante de Boltzmann

Sustituyendo $v_{z}$ y d$v_{z}$ de las ecuaciones (1.2) y (1.3) en la ecuación (1.4) obtenemos el número de átomos cuyas frecuencias de absorción fueron recorridas de la frecuencia $\omega _{0}$ dentro del intervalo comprendido entre $\omega _{0}$ y $\omega +d\omega$

$n_{i}(\omega )d\omega ={\frac {N_{i}c}{\omega _{o}V_{p}{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {c^{2}(\omega -\omega _{o})^{2}}{(\omega _{0}v_{p})^{2}}}}d\omega$ ............. 1.5

Dado que la potencia absorbida $p(\omega )d\omega$ es proporcional a la densidad $n_{i}(\omega )d(\omega )$ de átomos que absorben en el intervalo dω, el perfil de intensidad de una línea espectral con ensanchamiento Doppler es:

$I(\omega )=I_{0}e^{-{\frac {c^{2}(\omega -\omega _{o})^{2}}{(\omega _{0}v_{p})^{2}}}}d\omega$ .......... 1.6

Se obtiene un perfil Gaussiano con anchura

$(\gamma )D={\sqrt {ln2\omega _{0}v_{p}}}={\frac {\omega _{0}}{c}}{\sqrt {\frac {8KTln2}{m}}}$ ....... 1.7

también conocido como ancho Doppler. Despejando ${\frac {\omega _{0}v_{p}}{c}}$ de (1.5) y usando la aproximación 1/(4ln2) = 0,36, la ecuación (1.5) se puede reescribir como:

$I(\omega )=I_{0}e^{-{\frac {(\omega -\omega _{o})^{2}}{(0.36\gamma ^{2}D)}}}$

Introduciendo los valores del Rubidio en la ecuación (1.7) y tomando T = 290,15K se obtiene el ancho Doppler para cada isótopo, los cuales se presentan en la siguiente tabla A.

tabla A)

Un análisis más detallado muestra que una línea espectral con ensanchamiento Doppler no puede ser representada de manera estricta por un perfil puramente Gaussiano, como hasta el momento se ha trabajado, esto debido a que no todos los átomos con componente de velocidad vz bien definido absorben o emiten radiación a la misma frecuencia $\omega ^{,}=\omega _{0}(1+{\frac {v_{z}}{c}})$.

El tiempo de vida de los niveles atómicos origina que la respuesta en frecuencia de los átomos tenga un perfil Lorentziano centrado en la frecuencia on componente de velocidad vz bien definido absorben o emiten radiación a la misma frecuencia $\omega ^{,}$.

$L(\omega -\omega ^{,})={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\gamma }{(\omega -\omega ^{,})^{2}+(\gamma /2)^{2}}}$ ............. 1.8

Sea $n(\omega ^{,})d(\omega ^{,})=n(v_{z})dv_{z}$ el número de átomos por unidad de volumen cuya componente de velocidad z se encuentra en el intervalo $[v_{z},v_{z}+dv_{z}]$ . El espectro de distribución de intensidad $I(\omega )$ de la absorción o emisión total de todos los átomos en la transición $E_{1}$ → $E_{k}$ es:

$I(\omega -\omega ^{,})=I_{0}\int n(\omega ^{,})L(\omega -\omega ^{,})d\omega$ ........ 1.9

Insertando las ecuaciones (1.5) y (1.8) en (1.9), se obtiene:

$I(\omega -\omega ^{,})=C\int {\frac {e^{-{\frac {c^{2}(\omega -\omega _{o})^{2}}{(\omega _{0}v_{p})^{2}}}}}{(\omega -\omega ^{,})^{2}+(\gamma /2)^{2}}}$ con

$C={\frac {\gamma N_{i}c}{2v_{p}(\pi )^{3/2}\omega }}$

Este perfil de intensidad es una convolución de los perfiles Lorentziano y Gaussiano, y es conocido como perfil de Voigt.

Figura 5: Perfil de Voigt.)