Diferencia entre revisiones de «Pendulo»

De luz-wiki
Línea 120: Línea 120:
 
<math>\varepsilon\ ={mv^2 \over 2}+ m{g \over 2l}x^2 </math>
 
<math>\varepsilon\ ={mv^2 \over 2}+ m{g \over 2l}x^2 </math>
 
Cuando alcanza su amplitud máxima (A) la velocidad de la masa es cero entonces
 
Cuando alcanza su amplitud máxima (A) la velocidad de la masa es cero entonces
<math>\varepsilon\ =m\Omega(t)^2xA^2 </math>
+
<math>\varepsilon\ =m\Omega^2A^2 </math>
  
  

Revisión del 09:32 24 jul 2008

Introducción

Péndulo de longitud variable

Algunas de la aportaciones mas importantes de l principio del péndulo fue des cubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente mente de su amplitud , para amplitudes pequeñas .(no obstante , cuando la amplitud es grande el periodo del péndulo si depende de ella). Galileo propone un experimento que utiliza un péndulo cercano de una pared ,mientras este oscila , se introduce un clavo en la pared que se interpone en el camino que recorre la cuerda cuando pasa por la vertical .La longitud del péndulo cambia entonces de forma abrupta .Galileo ,apoyándose en la nociones del momento e ímpetu que había concebido, explica que la altura máxima que alcanza el péndulo es idéntica en todos los casos. En aquella época no existía el concepto de energía que fue permeando años después , primeo con la energía cinética, posteriormente con la energía potencial y finalmente distintas formas de energía cuyo valor total siempre se conserva.


En el lenguaje contemporáneo, el problema descrito por galileo se formula en términos de un oscilador armónico con un parámetro dependiente del tiempo(la longitud variable) y los invariantes asociados al sistema. A partir del ultimo tercio del siglo XX se revitalizo el interés por el oscilador armónico dependiente del tiempo , este debido a que se encontró un invariante exacto que es valido para variaciones lentas o rápidas. Para el péndulo de longitud variable se describirá al sistema bajo tres condiciones:

• En el limite abrupto que es el invariante en un limite abrupto que abordo Galileo.

• En el limite adiabático que es el caso en el cual la variación de la longitud es muy lenta.

• En el caso mas general del invariante exacto que debe ser valido para ambos casos particulares.

Derivación de la ecuación del péndulo

Ecuación del movimiento

Tomamos un péndulo longitud Lo , lo fijamos por el extremo superior y colocamos una partícula de masa m en su extremo libre inferior. Situamos el origen del sistema de coordenadas en la posición de la partícula en equilibrio. Al desplazar la masa de su punto de equilibrio , oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos, se produce un equilibrio de fuerzas. Para derivar las ecuaciones pertenecientes a un péndulo gravitacional se deben hacer las siguientes hipótesis:

Diagrama de las fuerzas que actúan en un péndulo simple.
  • Hilo inextensible y sin peso
  • Movimiento sin rozamiento del aire

La flecha azul representa la fuerza debido a la gravedad actuando sobre la masa. Las flechas en color violeta representan los componentes paralelo y perpendicular al movimiento instantáneo de la masa.

Ya que la masa está obligada a moverse en un trayecto circular (representado en color verde), el componente paralelo de esta fuerza es el responsable del movimiento de la masa y viene dado según la ecuación:


\[F_\| = mg\sin\theta = ma\,\]


La fuerza perpendicular, que mantiene la masa en estado de equilibrio con la tensión del hilo es:


\[F_\perp = mg\cos\theta\,\]


La aceleración lineal \(a\) que sigue la línea marcada en color rojo está relacionada con el cambio en el ángulo \(\theta\) por la fórmula para encontrar la longitud de arco:


\[ s = \ell\theta\,\]


De donde se deduce que la velocidad y la aceleración vienen dadas por:

\[ v = {ds\over dt} = \ell{d\theta\over dt}\]

\[ a = {d^2s\over dt^2} = \ell{d^2\theta\over dt^2}\]

Esta aceleración no toma en cuenta que el ángulo \(\theta\) está disminuyendo. La ecuación de movimiento teniendo en cuenta que la aceleración \(a\) tiene que llevar un signo negativo viene dada por:


Aplicamos la segunda ley de newton en forma diferencial.

\[m{d^2s\over dt^2} = -mg\sin\theta= ma\,\]

Rescribimos la ecuación la ecuación como función de angulo

\[m\ell{d^2\theta\over dt^2} = -mg\sin\theta \]


Tomamos la simetría del triangulo que forma la longitud del péndulo con el eje horizontal y el eje vertical

\[\sin\theta= {x\over l}\]

donde \[x=x(t)\] \[\theta= \arcsin{x\over l}\]

tenemos que la segunda derivada del ángulo con respecto al tiempo es

\[\ddot{\theta}=\frac{\ddot{x}(t) }{l\sqrt{1-{x(t)^2 \over l^2}}} + \frac{\dot{x}(t)x(t) }{l^3(1-{x(t)^2 \over l^2})^{3\over 2}}\]

sustituimos en nuestra ecuación diferencial

\[ml\bigg(\frac{\ddot{x}(t) }{l\sqrt{1-{x(t)^2 \over l^2}}} + \frac{\dot{x}(t)x(t) }{l^3(1-{x(t)^2 \over l^2})^{3\over 2}}\bigg)=-mg{x(t) \over l}\]

Para ángulos pequeños, es decir pequeños desplazamientos “x” con respecto a la longitud del péndulo podemos hacer una serie de aproximaciones muy finas, pero si se suponen que los desplazamiento son lo suficientemente pequeños para justificar el porque se desprecian los términos de la forma

\[{x \over l} << 1\]

Entonces la ecuación de reduce

\[\ddot{x}(t)+ {g\over l}x(t)=0\]


Nos queda la ecuación homogénea diferencial de segundo orden como


aaaaa

Si ahora consideramos a \(L=L(t)\)

La ecuación diferencial toma la forma

\[\ddot{x}(t)+ \Omega(t)^2x(t)=0\]

Donde \( x(t)\) representa la posición horizontal del centro de masa del péndulo , \(\Omega(t)^2=g/l(t)\) es un parámetro dependiente el tiempo ,\( l(t)\) es la longitud variable y \(g\) es la contante gravitacional en la superficie terrestre.

En el caso estacionario el parámetro \(\Omega\) es independiente del tiempo podemos determinar la energía en términos de amplitud A y frecuencia \(\omega\) también independiente del tiempo. Por el teorema de trabajo energía establece la existencia de una función \(-dV(x)/dx=F(x)\) la cual es llamada energía potencial entonces podemos determinar esta energía por

\(V(x)=-\int F(x) dx\) donde


\[m{d^2x\over dt^2}=-mg{x \over l}\]


\(V(x)=m{g \over l}\int x dx\)

\(V(x)=m{g \over 2l}x^2\) \(\varepsilon\ ={mv^2 \over 2}+ m{g \over 2l}x^2 \) Cuando alcanza su amplitud máxima (A) la velocidad de la masa es cero entonces \(\varepsilon\ =m\Omega^2A^2 \)





En el caso estudiado por galileo la constricción se introduce en el eje del péndulo sin realizar ningún trabajo sobre el sistema ; por lo tanto la energía se conserva Para los dos estados estacionarios se obtiene la razón de sus amplitudes.

Derivación de la ecuación del péndulo

texto

péndulo de longitud variable