Optica: optica fisica

Coherencia

TEOREMA DE VAN CITTERT-ZERNIKE.

¿Como se relaciona la coherencia temporal y espacial, con el formalismo anterior?

Archivo:Experimento Young.jpg

Si la fuente primaria S (ver figura a la derecha) se encoge hasta convertirse en una fuente puntual sobre el eje central que tiene un ancho de banda de frecuencia finito, los efectos de coherencia temporal predominarán. Las perturbaciones ópticas en $\mathbf {S} _{1}y{S}_{2}$ serán entonces idénticas. En efecto, la coherencia mutua

$\Gamma _{12}(\tau )=\left\langle \mathbf {E} _{1}(t)\mathbf {E} _{2}^{*}(t+\tau )\right\rangle .$

entre los dos puntos será la autocoherencia del campo. De aquí que

${\tilde {\Gamma }}(S_{1},S_{2},\tau )={\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau )={\tilde {\Gamma }}_{11}(\tau )$ $o$ ${\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )={\tilde {\gamma }}_{11}(\tau ).$

Lo mismo se obtiene cuando $\mathbf {S} _{1}y{S}_{2}$ se fusionan y ${\tilde {\gamma }}_{11}(\tau )$ se denomina, a veces, grado de coherencia temporal complejo en ese punto para dos ejemplos de tiempo separados por un intervalo $\tau$. Este sería el caso en un interferómetro de división de amplitud tal como el de Michelson donde $\tau$ es igual a la diferencia de recorrido dividida por c. La expresíon para I, es decir, la ecuación

$I=I_{1}+I_{2}+2(I_{1}I_{2})^{\frac {1}{2}}Re{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau ),$

contendría entonces ${\tilde {\gamma }}_{11}(\tau )$ en lugar de ${\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )$.

Vemos que ${\tilde {\Gamma }}_{11}(\tau ),$ siendo una medida de la coherencia temporal, tiene que estar relacionada estrechamente con el tiempo de coherencia, y por lo tanto, con el ancho de banda de la fuente. De hecho, la transformada de Fourier de la función de autocoherencia, ${\tilde {\Gamma }}_{11}(\tau ),$, es el espectro energético que desscribe la distribución de la energía espectral de la luz.

Si regresamos al experimento de Young con una fuente extensa de ancho de banda muy estrecho, prevalecerán los efectos de coherencia espacial. Las perturbaciones òpticas en $\mathbf {S} _{1}y{S}_{2}$ diferirán y el patrón de franjas dependerá de ${\tilde {\Gamma }}_{(}S_{1},S_{2},\tau )={\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau ).$ Al examinar la región alrededor de la franja central donde $(r_{1}-r_{2})=0,$ $(\tau )=0y$ ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)y$ ${\tilde {\gamma }}_{12}(0)$ pueden determinarsde está última cantidad es el grado de coherencia espacial complejo de los dos puntos en el mismo instante. ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)$ juega un papel central en la descripción del interferómetro estelar de Michelson que será descrito a continuación.

Entre el grado de coherencia complejo en una región del espacio y la distribución de la irradiancia correspondiente en la fuente extensa que da lugar a los campos luminosos, hay una relación muy conveniente a la que recurriremos, el Teorema de Van Cittert Zernike, como medio de cálculo sin analizar su derivación formal.

Archivo:Vcz.jpg

En la figura (a) a la izquierda se presenta una fuente incoherente extensa cuasimonocromática, S, situada en el plano $\sigma$ y con una irradiancia proporcionada por I(x,z). También se muestra en una pantalla de observación en la que se hallan dos puntos, $P_{1}yP_{2}$ a una distancia $R_{1}yR_{2},$ respectivamente, desde un elemento diminuto de S. Es precisamente en este plano donde deseamos determinar ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)$ la cual describe la correlación de las vibraciones del campo en esos dos puntos. Obsérvese que si bien la fuente es incoherente, la luz que alcanza $P_{1}yP_{2}$ estará, por lo general, correlacionada hasta cierto punto, puesto que cada elemento de la fuente contribuye al campo en ese punto.

El cálculo de ${\tilde {\gamma }}_{12}(0)$ desde los puntos en $P_{1}yP_{2}$ da como resultado una integral con una estructura conocida cuya forma y cuyos resultados serán iguales a los de una integral de difracción muy conocida, con tal que cada término se vuelva a interpretar correctamente. Por ejemplo, I(y, z) aparece en esa integral de coherencia donde habría una función de abertura si fuera, de hecho, una integral de difracción. Por lo tanto, supongamos que S no sea una fuente sino una abertura de tamaño y forma iguales y supongamos que I(y,z) no describa la irradiancia sino que su forma funcional corresponda a la distribución del campo en la abertura. Dicho de otra forma, imaginemos que haya una transparencia en la abertura cuyas caracteristicas de transmisión de amplitud correspondan desde un punto de vista funcional, a I(y,z). Asimismo, imaginemos que la abertura esté iluminada por una onda esférica que converge hacia el punto fijo $P_{2}$ (ver figurab a la izquierda) de manera que haya una figura de difracción centrada en $P_{2}.$ Esta distribución del campo difractado, normalizado a la unidad en $P_{2},$ es igual en todas partes (es decir, en $P_{1})$ al valor de ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)$ en ese punto. Este es el teorema de van Cittert-Zernike.

Archivo:Figura 10.13.jpg

Archivo:Figura 10.11.JPG

Cuando $P_{1}yP_{2}$ están muy cerca y S es pequeña comparada con l, el grado de coherencia complejo equivale a la tranformada normalizada de Fourier de la distribución de la irradiancia en la fuente. Asimismo, si la irradiancia de la fuente es uniforme, entonces ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)$ es sencillamente una función sinc cuando la fuente es una rendija y una función Bessel cuando es circular. Obsérvese que en la figura (a la derecha), la función sinc corresponde a la figura anterior (arriba a la izquierda), donde

$\beta ={\frac {kb}{2}}sen\theta$

y

$\theta \thickapprox sen\theta .$

Por lo tanto, si $P_{1}$ está a una distancia y desde $P_{2},$

$\beta ={\frac {kb\theta }{2}}$

y

$\theta ={\frac {y}{l}},$

por lo tanto

$\left|{\tilde {\gamma }}_{12}(0)\right|=\left|sinc({\frac {\pi by}{l\lambda }})\right|.$

La segunda figura a la derecha, es referencia de la primera

Mas sobre el teorema: [[1]] [[2]] [[3]]

Sobre Fourier Optica: Optica de Fourier

Teorema de Cittert-Zernike

La ganancia de coherencia supone una caída importante de la velocidad de conteo, dado que la señal decrece cuadráticamente con la distancia a la fuente y linealmente con el tamaño de la rendija.