Optica: optica fisica

Coherencia

TEOREMA DE VAN CITTERT-ZERNIKE.

¿Como se relaciona la coherencia temporal y espacial, con el formalismo anterior?

Archivo:Experimento Young.jpg

Si la fuente primaria S (ver figura a la derecha) se encoge hasta convertirse en una fuente puntual sobre el eje central que tiene un ancho de banda de frecuencia finito, los efectos de coherencia temporal predominarán. Las perturbaciones ópticas en $\mathbf {S} _{1}y{S}_{2}$ serán entonces idénticas. En efecto, la coherencia mutua

$\Gamma _{12}(\tau )=\left\langle \mathbf {E} _{1}(t)\mathbf {E} _{2}^{*}(t+\tau )\right\rangle .$

entre los dos puntos será la autocoherencia del campo. De aquí que

${\tilde {\Gamma }}(S_{1},S_{2},\tau )={\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau )={\tilde {\Gamma }}_{11}(\tau )$ $o$ ${\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )={\tilde {\gamma }}_{11}(\tau ).$

Lo mismo se obtiene cuando $\mathbf {S} _{1}y{S}_{2}$ se fusionan y ${\tilde {\gamma }}_{11}(\tau )$ se denomina, a veces, grado de coherencia temporal complejo en ese punto para dos ejemplos de tiempo separados por un intervalo $\tau$. Este sería el caso en un interferómetro de división de amplitud tal como el de Michelson donde $\tau$ es igual a la diferencia de recorrido dividida por c. La expresíon para I, es decir, la ecuación

$I=I_{1}+I_{2}+2(I_{1}I_{2})^{\frac {1}{2}}Re{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau ),$

contendría entonces ${\tilde {\gamma }}_{11}(\tau )$ en lugar de ${\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )$.

Vemos que ${\tilde {\Gamma }}_{11}(\tau ),$ siendo una medida de la coherencia temporal, tiene que estar relacionada estrechamente con el tiempo de coherencia, y por lo tanto, con el ancho de banda de la fuente. De hecho, la transformada de Fourier de la función de autocoherencia, ${\tilde {\Gamma }}_{11}(\tau ),$, es el espectro energético que desscribe la distribución de la energía espectral de la luz.

Si regresamos al experimento de Young con una fuente extensa de ancho de banda muy estrecho, prevalecerán los efectos de coherencia espacial. Las perturbaciones òpticas en $\mathbf {S} _{1}y{S}_{2}$ diferirán y el patrón de franjas dependerá de ${\tilde {\Gamma }}_{(}S_{1},S_{2},\tau )={\tilde {\Gamma }}_{12}(\tau ).$ Al examinar la región alrededor de la franja central donde $(r_{1}-r_{2})=0,$ $(\tau )=0y$ ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)y$ ${\tilde {\gamma }}_{12}(0)$ pueden determinarsde está última cantidad es el grado de coherencia espacial complejo de los dos puntos en el mismo instante. ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)$ juega un papel central en la descripción del interferómetro estelar de Michelson que será descrito a continuación.

Entre el grado de coherencia complejo en una región del espacio y la distribución de la irradiancia correspondiente en la fuente extensa que da lugar a los campos luminosos, hay una relación muy conveniente a la que recurriremos, el Teorema de Van Cittert Zernike, como medio de cálculo sin analizar su derivación formal.

Archivo:Vcz.jpg

En la figura (a) a la izquierda se presenta una fuente incoherente extensa cuasimonocromática, S, situada en el plano $\sigma$ y con una irradiancia proporcionada por I(x,z). También se muestra en una pantalla de observación en la que se hallan dos puntos, $P_{1}yP_{2}$ a una distancia $R_{1}yR_{2},$ respectivamente, desde un elemento diminuto de S. Es precisamente en este plano donde deseamos determinar ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)$ la cual describe la correlación de las vibraciones del campo en esos dos puntos. Obsérvese que si bien la fuente es incoherente, la luz que alcanza $P_{1}yP_{2}$ estará, por lo general, correlacionada hasta cierto punto, puesto que cada elemento de la fuente contribuye al campo en ese punto.

El cálculo de ${\tilde {\gamma }}_{12}(0)$ desde los puntos en $P_{1}yP_{2}$ da como resultado una integral con una estructura conocida cuya forma y cuyos resultados serán iguales a los de una integral de difracción muy conocida, con tal que cada término se vuelva a interpretar correctamente. Por ejemplo, I(y, z) aparece en esa integral de coherencia donde habría una función de abertura si fuera, de hecho, una integral de difracción. Por lo tanto, supongamos que S no sea una fuente sino una abertura de tamaño y forma iguales y supongamos que I(y,z) no describa la irradiancia sino que su forma funcional corresponda a la distribución del campo en la abertura. Dicho de otra forma, imaginemos que haya una transparencia en la abertura cuyas caracteristicas de transmisión de amplitud correspondan desde un punto de vista funcional, a I(y,z). Asimismo, imaginemos que la abertura esté iluminada por una onda esférica que converge hacia el punto fijo $P_{2}$ (ver figurab a la izquierda) de manera que haya una figura de difracción centrada en $P_{2}.$ Esta distribución del campo difractado, normalizado a la unidad en $P_{2},$ es igual en todas partes (es decir, en $P_{1})$ al valor de ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)$ en ese punto. Este es el teorema de van Cittert-Zernike.

Archivo:Figura 10.13.jpg

Archivo:Figura 10.11.JPG

Cuando $P_{1}yP_{2}$ están muy cerca y S es pequeña comparada con l, el grado de coherencia complejo equivale a la tranformada normalizada de Fourier de la distribución de la irradiancia en la fuente. Asimismo, si la irradiancia de la fuente es uniforme, entonces ${\tilde {\Gamma }}_{12}(0)$ es sencillamente una función sinc cuando la fuente es una rendija y una función Bessel cuando es circular. Obsérvese que en la figura (a la derecha), la función sinc corresponde a la figura anterior (arriba a la izquierda), donde

$\beta ={\frac {kb}{2}}sen\theta$

y

$\theta \thickapprox sen\theta .$

Por lo tanto, si $P_{1}$ está a una distancia y desde $P_{2},$

$\beta ={\frac {kb\theta }{2}}$

y

$\theta ={\frac {y}{l}},$

por lo tanto

$\left|{\tilde {\gamma }}_{12}(0)\right|=\left|sinc({\frac {\pi by}{l\lambda }})\right|.$

La segunda figura a la derecha, es referencia de la primera

Mas sobre el teorema: [[1]] [[2]] [[3]]

Sobre Fourier Optica: Optica de Fourier

Teorema de Cittert-Zernike

La ganancia de coherencia supone una caída importante de la velocidad de conteo, dado que la señal decrece cuadráticamente con la distancia a la fuente y linealmente con el tamaño de la rendija.

vamos a determinar la intensidad mutua $J_{12}$ y el grado de coherencia complejo $j_{12}$ para los puntos de $P_{1}$ y $P_{2}$ en la pantalla A iluminada por un haz de luz proviniente de una fuente monocromática $\sigma$. Por simplicidad $\sigma$ sera tomada como una parte de un plano paralelo al plano de A y vamos a suponer que el medio entre la fuente y la pantalla es homogéneo. También suponemos que las dimensiones lineales de $\sigma$ son pequeñas en comparación con la distancia $00^{\prime }$ entre los planos de la fuente y la pantalla, y que el ángulo entre las líneas que unen un punto de la fuente S a $P_{1}$ y $P_{2}$ son pequeños. Imaginemos que la fuente se divide en elementos $d\sigma _{1},d\sigma _{2},...$ centrado en los puntos $S_{1},S_{2},...$ de dimensiones lineales pequeñas comparadas con la longitud de onda $\lambda$. Es decir, si $v_{m1}(t)$ y $v_{m2}(t)$ son los trastornos del campo complejos en $P_{1}$ y $P_{2}$, debido al elemento $d\sigma _{1}$, el total de las alteraciones en estos puntos son ahora las vibraciones de luz que surgen de los diferentes elementos de la fuente, y puede ser asumida como estadísticamente independientes (incoherentes entre sí), y el valor medio de cero, de modo que

$J(P_{1},P_{2})=\left\langle \mathbf {E} _{1}(t)\mathbf {E} _{2}^{*}(t)\right\rangle =\sum _{m}\left\langle \mathbf {E} _{m1}(t)\mathbf {E} _{m2}^{*}(t)\right\rangle +\sum \sum _{nm}\left\langle \mathbf {E} _{m1}(t)\mathbf {E} _{n2}^{*}(t)\right\rangle =\sum _{m}\left\langle \mathbf {E} _{m1}(t)\mathbf {E} _{m2}^{*}(t)\right\rangle +\sum \sum _{nm}0$

\tau

si $R_{m1}$ y $R_{m2}$ son las distancias de $P_{1}$ y $P_{2}$ del elemento de origen $d\sigma _{m}$

$V_{m1}(t)=A_{m}\left(t+{\frac {R_{m1}}{v}}\right){\frac {Ae^{-2i\pi ({\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}\pm \omega {t})}}{R_{m1}}}$;

$V_{m2}(t)=A_{m}\left(t+{\frac {R_{m2}}{v}}\right){\frac {\lambda }{R_{m2}}}$

donde B caracteriza a la fuerza y arg P la fase de la fase de la radiación del elemento MTH, T y V es la velocidad de la luz en el medio entre la fuente y la pantalla. por lo tanto

si la diferencia de caminos PP es pequeña comparada con la longitud o coherece de la Luz podemos despreciar la redacción de P en el argumento de A y se obtiene a partir del 12

Notemos que la integral (21) es la misma que ocurre en una conexión diferente, esto es en la calculación, sobre la base del principio de HUYGENS-FRESNEL de la perturbación compleja en el patrón de difracción derivados de la difracción de una onda esférica sobre una apertura en una pantalla opaca. Mas precisamente, (21) implica que el grado de complejidad de Observamos que el 2 integral es la misma que la que se produce en el marco muy diferente, a saber:

en el cálculo, sobre la base del principio de Fresnel, de la alteración compleja en el patrón de difracción derivados de la difracción de una onda esférica en una apertura en una pantalla opaca. más precisamente, 2 implica que la igualdad de grado complejos, el tiempo de j coherencia, que describe la correlación de las vibraciones en un punto fijo P1 y P2 punto variable en un plano iluminar por un cuasi ampliado fuente incoherente monocromática, es igual a la normalizada de amplitud compleja en el punto correspondiente P1 en un patrón de difracción de algunos, centrada en la P2. este patrón se obtendría en la sustitución de la fuente por una abertura de difracción de la misma forma y tamaño de la fuente, y en el llenado con una onda esférica convergente para P2, la distribución de amplitud en la onda. frente en la apertura es proporcional a la distribución de intensidad a través de la fuente.

Este resultado se estableció por primera vez por Cittert y más tarde con más frecuencia por Zernike. nos referiremos a él como el zernie Cittert en la mayoría de las aplicaciones de la intensidad que puede suponerse que ser independiente de la posición de S en la superficie (de intensidad uniforme). el problema de difracción correspondiente es entonces el de la difracción de una onda esférica de la amplitud de uniforme por una abertura de la misma forma y tamaño de la fuente

Sea E el coordenadas de un punto de fuente típico S, se refiere a los ejes en O, y X e Y son las coordenadas de P1 y P2 se refiere a ejes paralelos en O. Entonces, si R representa la distancia = aquí onl los términos learding en K, ad T Q se ha mantenido. una expresión estrictamente siilar es obtenidos destacaremos a la I, de modo que en el denominador de la integrandos en 20 y 21, R1 y R2 pueden a una buena aproximación se sustituye por el Sr. R., también se Por tanto, si las dimensiones lineales de la fuente y la distancia entre P1 y P2 son pequeñas comparadas con la distancia de estos puntos de la fuente, el grado de coerence j es igual al valor absoluto de la transformada de Fourier normalizada la función de la intensidad de la fuente la cantidad W definida en un 25 tiene una interpretación simple. de acuerdo a 23 que representa la diferencia de fase WW, y evidentemente se puede despreciar cuando se

Entonces, si las dimensiones lineales de una fuente y la distancia entre P1 y P2 son pequeñas comparadas con la distancia de esos puntos a la fuente, el grado de coherencia J12 es igual al valor absoluto de la transformada de FOURIER normalizada de la función intensidad de la fuente. La cantidad PSI definida por (25) tiene una simple interpretación. De acuerdo a (23) esta representa la diferencia de fase 2PI (OP1-OP2)/LAMDA, y quizá evidentemente sea despreciable cuando OP1-OP2<<LAMBDA Para una fuente circular uniforme de radio RO con centro en O, (26) proporciona sobre la integración (ver 8.5.2) J12 = … DONDE V=… J1 es la función de Bessel de primera clase y primer orden. De acuerdo a 8.5.2 |2J1| decrece constantemente desde el valor uno (unidad) cuando v=0 al valor cero cuando v=3.83; así como los puntos P1 y P2 son separados mas y mas, el grado de coherencia decrece constantemente y hay una completa incoherencia cuando P1 y P2 son separados por una distancia P1P2 = … Un incremento adicional en v reintroduce una cantidad pequeña de coherencia, pero el grado de coherencia permanece menor a 0.14, y hay una completa incoherencia para v=7.02. Puesto que J1(v) cambia de signo cada vez que v pasa a través de cada cero de J1(v), la fase B12 = argj12 cambia por PI, en consecuencia la posición de las franjas oscuras y brillantes son intercambiadas después de cada desaparición de las franjas.