Optica: interfase dielectrica

Ecuaciones de Fresnel

Como ya es conocido, los coeficientes de reflexion y de transmision para la amplitud en una interfase entre dos materiales dieléctricos, homogeneos, isotropos y lineales que tienen la misma permeabilidad magnética son:

Cuando $\mathbf {E}$ es perpendicular al plano de incidencia

Para el caso en que el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia tenemos:

$r_{\perp }\equiv \left({E_{0r} \over E_{0i}}\right)_{\perp }={n_{i}\cos {\theta _{i}}-n_{t}\cos {\theta _{t}} \over n_{i}\cos {\theta _{i}}+n_{t}\cos {\theta _{t}}}$

$t_{\perp }\equiv \left({E_{0r} \over E_{0i}}\right)_{\perp }={2\ \ n_{i}\cos {\theta _{i}} \over n_{i}\cos {\theta _{i}}+n_{t}\cos {\theta _{t}}}$

donde:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_\perp es el coeficiente de reflexión

$t_{\perp }$ es el coeficiente de transmisión

Cuando $\mathbf {E}$ es paralelo al plano de incidencia

Para el caso en que el campo eléctrico es paralelo al plano de incidencia los coeficientes estan determinados por las siguientes ecuaciones:

$r_{\|}\equiv \left({E_{0r} \over E_{0i}}\right)_{\|}={n_{t}\cos {\theta _{i}}-n_{i}\cos {\theta _{t}} \over n_{t}\cos {\theta _{i}}+n_{i}\cos {\theta _{t}}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): t_\| \equiv \left( {E_{0t}\over E_{0i}} \right)_\| = {2 \ \ n_i \cos{\theta_i}\over n_i \cos{\theta_t}+ n_t \cos{\theta_i}}

donde:

$r_{\|}$ es el coeficiente de reflexión

$t_{\|}$ es el coeficiente de transmisión

Estas son las llamadas Ecuaciones de Fresnel.

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Los coeficientes de amplitud como funciones del angulo de incidencia y sus implicaciones fisicas

Una vez que hemos obtenido estos coeficientes, lo que haremos es estudiar su comportamiento al ir variando el angulo de incidencia (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \theta_i ) y para esto estudiaremos dos casos, el primero es cuando el índice de refracción del medio incidente es menor al índice de refración del medio transmisor ($n_{i}<n_{t}$) y el caso en que el índice de refracción del medio transmisor es menor al índice de refración del medio incidente ($n_{t}<n_{i}$). Usaremos el caso de una interfaz aire-vidrio, en donde sus indices de refracción son de 1 y1.5 respectivamente.

Comportamiento de los coeficientes de amplitud cuando $n_{i}<n_{t}$

Para estudiar el comportamiento de los coeficientes de amplitud ($r_{\perp },t_{\perp },r_{\|},t_{\|}$ ), los graficaremos como funciones del ángulo de incidencia y usando la ley de Snell, podremos dejar al ángulo transmisor en función del ángulo de incidencia, al graficarlos y sobreponerlos obtenemos la siguiente figura. El comportamiento de los coeficientes es decreciente y es característico de una reflexión extrena, es decir cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_i < n_t .

Archivo:Coe-amp.png

En esta figura estan graficados los coeficientes de amplitud de reflexión y transmisión como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}<n_{t}$ .

En esta grafica se puede apreciar que los coeficientes de transmisión, tanto paralelo como el perpendicular, unicamente son cero para cuando el angulo de incidencia el de $90^{o}$, tal como se esperaba. Pero para el coeficiente de reflexión paralelo hay un ángulo para el cual este toma el valor de cero, es el ángulo de Brewster o ángulo de polarización, en la figura se denota por $\theta _{B}$, que en nuestro caso, ya que estamos en una interfaz aire-vidrio, el valor del ángulo de polarización es aproximadamente de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 56,3^o .

Comportamiento de los coeficientes de amplitud cuando $n_{i}>n_{t}$

Realizamos lo mismo que en la gráfica anterior, pero ahora consideramos el caso en que $n_{i}>n_{t}$, esto es una reflexión interna, en este caso observamos el siguiente comportamiento.

En esta figura estan graficados los coeficientes de amplitud de reflexión como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}>n_{t}$ .

Para esta gráfica solo consideramos los coeficientes de reflexión, ya que los coeficientes de transmisión tienen un comportamiento creciente que empieza en 1.2. Tal como se esperaba el comportamiento es inverso al de la reflexión externa, que era decreciente. En esta figura podemos observar nuevamente que existe un ángulo para el cual el coeficiente de reflexión paralela es cero y lo nombramos $\theta _{B}'$.

De estas figuras podemos hacer notar 2 puntos importantes:

I.- Se puede demostrar que $\theta _{B}+\theta _{B}'={\pi \over 2}$ .

II.- En la reflexión interna existe un valor que toma $\theta _{i}$ para el cual el coeficiente de reflexión (tanto paralelo como perpendicular) toma el valor de uno, a este valor de $\theta _{i}$ se le conoce como ángulo crítico ($\theta _{c}$) ya que en este valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \theta_i el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \theta_t es de $90^{o}$. Una sección posterior se dedica al estudio de este ángulo.

Relación entre los coeficientes de amplitud y el desfasamiento entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_i y $E_{r}$

Haremos una separación entre el caso de reflexión externa y reflexión interna, ya que en el caso de reflexión interna tenemos la presencia del ángulo crítico y esto genera una diferencia en el comportamiento del desfasamiento de las componentes con respecto al caso de reflexión externa.

Desfasamiento en el caso de reflexión externa

En la siguiente figura se grafica el desfasamiento entre el campo incidente y el reflejado para cuando el campo E es perpendicular al plano de incidencia.

En esta figura esta graficado el desfasamiento para el caso perpendicular como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}<n_{t}$ .

Esto se puede relacionar directamente de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_\perp , pues en la gráfica de podemos ver que $r_{\perp }vs.\theta _{i}$ su valor es negativo para cualquier valor de $\theta _{i}$, esto implica que haya un desfasamiento de $\pi$ rad entre E incidente y E reflejado.

En esta figura se graficó el desfasamiento entre el campo incidente y el reflejado para cuando el campo E es paralelo al plano de incidencia.

En esta figura esta graficado el desfasamiento para el caso paralelo como función del ángulo de inciadencia, en donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_i < n_t .

Nuevamente, al ver el comportamiento del coeficiente de amplitud $r_{\|}$, lo que se puede apreciar es que es positivo para todos los valores de $\theta _{i}<\theta _{B}$ y negativo para valores mayores al ángulo de Brewster, esto implica que estan en fase y cuando es mayor al ángulo de Brewster, se desfasan por $\pi$ rad. Se podria pensar que al realizar el experimento se podria ver esta discontinuidad en la fase, pero lo que realmente sucede es que, si bien hay una discontinuidad en la fase, comforme se acerca el ángulo incidente al ángulo de Brewster la amplitud del campo tiende a cero, de tal forma que cuando se vuelve a detectar el campo, ya esta desfasado.

Desfasamiento en el caso de reflexión externa

Lo siguiente a hacer es repetir el estudio anterior pero para el caso en que $n_{i}>n_{t}$. Esto se hara pues en el caso de reflexión interna, el ángulo critico produce que el desfasamiento no sea discontinuo (como en el caso anterior), si no que este desfasamiento sera gradual, tal como se aprecia en la siguiente figura.

En esta figura esta graficado el desfasamiento para el caso paralelo como función del ángulo de inciadencia, en donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_i > n_t .

Este comportamiento del desfasamiento se puede interpretar del coeficiente $r_{\|}$, ya que comienza con un valor negativo, que implica un desfasamiento de $\pi$ rad y cuando sobrepasa el ángulo de Brewster el coeficiente es positivo, esto es, quedan en fase. Pero al llegar al ángulo crítico se comienzan a desfasar paulatinamente, ya que, en el momento en que ángulo de incidencia es mayor que el ángulo de crítico, entoces el ángulo de incidencia es complejo .

Ahora estudiaremos el caso en que el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia en una interfaz vidrio-aire

En esta figura esta graficado el desfasamiento para el caso perpendicular como función del ángulo de inciadencia, en donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_i > n_t .

Lo que se puede apreciar es que en un principio estan en fase y esto se debe a que el coeficiente $r_{\perp }$ es positivo. Igual que en el caso anterior, cuando el ángulo incidente es mayor al angulo crítico comienzan un desfasamiento que se debe a que el angulo es complejo.

La siguiente figura es para ver el comportamiento relativo del desplazamiento de fase de las componentes paralela y perpendicular del campo

En esta figura esta graficado el desfasamiento realativo entre las componentes paralela y perpendicular como función del ángulo de inciadencia, en donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_i > n_t .

Ya que la finalidad de esta seción es la interpretación de los coeficientes de amplitud, no hemos hecho mencion del método y procedimientos utilizados para obtener la función especifica que aqui se graficó para estas difefencias de fase, pero se ha utilizado la literatura pertinente

Reflectancia y Transmitancia para $n_{i}<n_{t}$

Igual que en el caso anterior, nuestra finalidad no es la de exponer la deduccción de la ecuación para la reflectancia (R) o la ecuación para la transmitancia (T), sino la de interpretar el comportamiento de estas con relación al ángulo de incidencia. Por esto, solo les recordaremos las ecuaciones para la reflectancia y la transmitancia, las cuales son:

$R_{\perp }=r_{\perp }$

$T_{\perp }=\left({n_{t}Cos\theta _{t} \over n_{i}Cos\theta _{i}}\right)t_{\perp }$

$R_{\|}=r_{\|}$

$T_{\|}=\left({n_{t}Cos\theta _{t} \over n_{i}Cos\theta _{i}}\right)t\|$

En esta figura esta graficada la Reflectancia y la Transmitancia paralela como función del ángulo de inciadencia, en donde $n_{i}<n_{t}$ .

En esta figura esta graficada la Reflectancia y la Transmitancia perpendicular como función del ángulo de inciadencia, en donde $n_{i}<n_{t}$ .

Nota: Todos las graficas fueron realizadas con los datos especificados, para mas detalle consulte la pagina de discusión.