Optica: interfase dielectrica

Ecuaciones de Fresnel

Como ya es conocido, los coeficientes de reflexion y de transmision para la amplitud en una interfase entre dos materiales dieléctricos, homogeneos, isotropos y lineales que tienen la misma permeabilidad magnética son:

Cuando $\mathbf {E}$ es perpendicular al plano de incidencia

Para el caso en que el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia tenemos:

$r_{\perp }\equiv \left({E_{0r} \over E_{0i}}\right)_{\perp }={n_{i}\cos {\theta _{i}}-n_{t}\cos {\theta _{t}} \over n_{i}\cos {\theta _{i}}+n_{t}\cos {\theta _{t}}}$

$t_{\perp }\equiv \left({E_{0r} \over E_{0i}}\right)_{\perp }={2\ \ n_{i}\cos {\theta _{i}} \over n_{i}\cos {\theta _{i}}+n_{t}\cos {\theta _{t}}}$

donde:

$r_{\perp }$ es el coeficiente de reflexión

$t_{\perp }$ es el coeficiente de transmisión

Cuando $\mathbf {E}$ es paralelo al plano de incidencia

Para el caso en que el campo eléctrico es paralelo al plano de incidencia los coeficientes estan determinados por las siguientes ecuaciones:

$r_{\|}\equiv \left({E_{0r} \over E_{0i}}\right)_{\|}={n_{t}\cos {\theta _{i}}-n_{i}\cos {\theta _{t}} \over n_{t}\cos {\theta _{i}}+n_{i}\cos {\theta _{t}}}$

$t_{\|}\equiv \left({E_{0t} \over E_{0i}}\right)_{\|}={2\ \ n_{i}\cos {\theta _{i}} \over n_{i}\cos {\theta _{t}}+n_{t}\cos {\theta _{i}}}$

donde:

$r_{\|}$ es el coeficiente de reflexión

$t_{\|}$ es el coeficiente de transmisión

Estas son las llamadas Ecuaciones de Fresnel.

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Los coeficientes de amplitud como funciones del angulo de incidencia y sus implicaciones fisicas

Una vez que hemos obtenido estos coeficientes, lo que haremos es estudiar su comportamiento al ir variando el angulo de incidencia ($\theta _{i}$) y para esto estudiaremos dos casos, el primero es cuando el índice de refracción del medio incidente es menor al índice de refración del medio transmisor ($n_{i}<n_{t}$) y el caso en que el índice de refracción del medio transmisor es menor al índice de refración del medio incidente ($n_{t}<n_{i}$). Usaremos el caso de una interfaz aire-vidrio, en donde sus indices de refracción son de 1 y1.5 respectivamente.

Comportamiento de los coeficientes de amplitud cuando $n_{i}<n_{t}$

Para estudiar el comportamiento de los coeficientes de amplitud ($r_{\perp },t_{\perp },r_{\|},t_{\|}$ ), los graficaremos como funciones del ángulo de incidencia y usando la ley de Snell, podremos dejar al ángulo transmisor en función del ángulo de incidencia, al graficarlos y sobreponerlos obtenemos la siguiente figura. El comportamiento de los coeficientes es decreciente y es característico de una reflexión extrena, es decir cuando $n_{i}<n_{t}$.

Archivo:Coe-amp.png

En esta figura estan graficados los coeficientes de amplitud de reflexión y transmisión como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}<n_{t}$ .

En esta grafica se puede apreciar que los coeficientes de transmisión, tanto paralelo como el perpendicular, unicamente son cero para cuando el angulo de incidencia el de $90^{o}$, tal como se esperaba. Pero para el coeficiente de reflexión paralelo hay un ángulo para el cual este toma el valor de cero, es el ángulo de Brewster o ángulo de polarización, en la figura se denota por $\theta _{B}$, que en nuestro caso, ya que estamos en una interfaz aire-vidrio, el valor del ángulo de polarización es aproximadamente de $56,3^{o}$.

Comportamiento de los coeficientes de amplitud cuando $n_{i}>n_{t}$

Realizamos lo mismo que en la gráfica anterior, pero ahora consideramos el caso en que $n_{i}>n_{t}$, esto es una reflexión interna, en este caso observamos el siguiente comportamiento.

En esta figura estan graficados los coeficientes de amplitud de reflexión como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}>n_{t}$ .

Para esta gráfica solo consideramos los coeficientes de reflexión, ya que los coeficientes de transmisión tienen un comportamiento creciente que empieza en 1.2. Tal como se esperaba el comportamiento es inverso al de la reflexión externa, que era decreciente. En esta figura podemos observar nuevamente que existe un ángulo para el cual el coeficiente de reflexión paralela es cero y lo nombramos $\theta _{B}'$.

De estas figuras podemos hacer notar 2 puntos importantes:

I.- Se puede demostrar que $\theta _{B}+\theta _{B}'={\pi \over 2}$ .

II.- En la reflexión interna existe un valor que toma $\theta _{i}$ para el cual el coeficiente de reflexión (tanto paralelo como perpendicular) toma el valor de uno, a este valor de $\theta _{i}$ se le conoce como ángulo crítico ($\theta _{c}$) ya que en este valor de $\theta _{i}$ el valor de $\theta _{t}$ es de $90^{o}$. Una sección posterior se dedica al estudio de este ángulo.

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--Noe de Jesus Atzin Cañas 14:25 11 mar 2010 (UTC)