Optica: Principio de Huygens-Fresnel

Principio de Huygens-Fesnel

El Principio de Huygens indica que cada punto en un frente de onda puede ser considerado como centro de una perturbación secundaria que da lugar a ondas esféricas, y el frente de onda en cualquier instante puede ser considerado como la envolvente de esas ondas. Fresnel pudo darse cuenta de la difracción complementando la Construcción de Huygens con el postulado de que las ondas secundarias interfieren mutuamente.

Desarrollo matemático

Consideremos $S$ la posición instantánea de una onda esférica monocromática con radio $r_{o}$ y centro en $P_{o}$. $P$ es el punto donde queremos ver la perturbación. El punto $Q$ está en la superficie de la espera teniendo un angulo $\theta$ respecto a la linea entre $P_{o}$ y $P$. Ahí existe una perturbación dada por $Q=A{\frac {e^{ikr_{o}}}{r_{o}}}$. Donde $A$ es la amplitud por unidad de tiempo.

Según el Principio de Huygens-Fresnel consideramos cada elemento del frente de onda como centro de una perturbación secundaria la cual se propaga en la forma de ondas esféricas. Tomemos un elemento de perturbación $dU$ debida al elemento S en Q:

$dU(P)=K(\chi ){\frac {Ae^{ikr_{o}}}{r_{o}}}{\frac {e^{iks}}{s}}dS$ (1)

Donde $s=QP$ y $K(\chi )$ es el factor de inclinación que describe la variación con dirección de la amplitud de las ondas secundarias y $\chi$ es el ángulo entre la normal en el punto $Q$ y la línea $s$.

$K(\chi )$ es máximo cuando $\chi =0$ y empieza a decrecer cuando $\chi$ va aumentando. $K(\chi )$ es cero cuando $\chi ={\frac {\pi }{2}}$.

Integrando la ecuación (1) obtenemos la pertubación total en $P$:

$U(P)={\frac {Ae^{ikr_{o}}}{r_{o}}}\iint \limits _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}K(\chi )\,dS$ (2)

Para evaluar esa ecuación es necesario construir las zonas de Fresnel.

Construcción de zonas de Fresnel

Tomemos varios círculos con centro en $P$ y diferentes radios:

$b,b+{\frac {\lambda }{2}},b+{\frac {2\lambda }{2}},...$

Donde $b=CP$ y $C$ es el punto de intersección de $PP_{o}$ con el frende de onda $S$.

Las esfércas dividen a $S$ en varias zonas: $Z_{1},Z_{2},Z_{3},...,Z_{j},...$

Suponemos que $r_{o}$ y $b$ son mucho mayores que $\lambda$. Por lo tanto $K(\chi )$ debe tener el mismo valor $K_{j}$ en diferentes zonas (pues las $Z_{j}$ están muy pegadas).

Regresando al problema

De la figura vemos:

$s^{2}=s_{o}^{2}+(r_{o}+b)^{2}-2r_{o}(r_{o}+b)cos\theta$

Si derivamos respecto a $s$:

$sds=r_{o}(r_{o}+b)sin\theta d\theta$

Por otro lado, tenemos el diferencial de la superficie $S$:

$dS=r_{o}^{2}sin\theta d\theta d\phi ={\frac {r_{o}}{r_{o}+b}}sdsd\phi$

Donde $\phi$ es el ángulo azimutal.

De la ecuación (2) vemos que es una doble integral. Por un lado integramos respecto a $\phi$ y nos da $2\pi$. Entonces nos queda una ecuación con una sola integral que descibre la j-ésima contribución (de cada zona de Fresnel):

$U_{j}(P)=2\pi {\frac {Ae^{ikr_{o}}}{r_{o}+b}}K_{j}\int _{b+(j-1){\frac {\lambda }{2}}}^{b+j{\frac {\lambda }{2}}}e^{iks}ds$

Resolviendo la integral y como $k\lambda =2\pi$:

$U_{j}(P)=2i\lambda (-1)^{j+1}K_{j}{\frac {Ae^{ik(r_{o}+b)}}{r_{o}+b}}$

Reacomodando tenemos que el efecto total en P es la suma de todas las contribuciones:

$U(P)=2i\lambda {\frac {Ae^{ik(r_{o}+b)}}{r_{o}+b}}\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j+1}K_{j}$(3)

Algo sobre series

En la ecuación (3) tenemos esta serie:

$\sum =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j+1}K_{j}=K_{1}-K_{2}+K_{3}-...+(-1)^{n+1}K_{n}$ (4)

La cual podemos desarrollar usando el método de Schuster, el cual consiste en separar elementos de la serie en dos partes y formar grupos:

$\sum ={\frac {K_{1}}{2}}+[{\frac {K_{1}}{2}}-K_{2}+{\frac {K_{3}}{2}}]+[{\frac {K_{3}}{2}}-K_{4}+{\frac {K_{5}}{2}}]+...$

Donde el último término puede ser ${\frac {1}{2}}K_{n-1}-K_{n}$ o ${\frac {1}{2}}K_{n}$ si es impar o par, respectivamente.

Ahora, supongamos que $K_{j}$ es mayor que el promedio de sus vecinos $K_{j-1}$ y $K_{j+1}$. Entonces cada uno de los términos en los paréntesis de la ecuación aterior son negativos y resultaría (5):

$\sum <{\frac {K_{1}}{2}}+{\frac {K_{n}}{2}}$ para $n$ par $\sum <{\frac {K_{1}}{2}}+{\frac {K_{n-1}}{2}}-K_{n}$ para $n$ impar

Por otro lado, también la ecuación (4) podemos escribirla de la siguiente manera:

$\sum =K_{1}-{\frac {K_{2}}{2}}-[{\frac {K_{2}}{2}}-K_{3}+{\frac {K_{4}}{2}}]-[{\frac {K_{4}}{2}}-K_{5}+{\frac {K_{6}}{2}}]+...$

Con el último termino siendo $-{\frac {1}{2}}K_{n-1}+K_{n}$ o $-{\frac {1}{2}}K_{n}$ según si $n$ es par o impar.

De forma similar al método de Schuster, la ecuación anterior resulta (6):

$\sum >K_{1}-{\frac {K_{2}}{2}}-{\frac {K_{n-1}}{2}}+K_{n}$ para $n$ par $\sum >K_{1}-{\frac {K_{2}}{2}}-{\frac {K_{n}}{2}}$ para $n$ impar

$K_{j}$ difiere muy poco de los valores de sus vecinos $K_{j-1}$ y $K_{j+1}$ por ello el lado derecho de las ecuaciones (5) y (6) son casi iguales, es decir (7):

$\sum ={\frac {K_{1}}{2}}+{\frac {K_{n}}{2}}$ si $n$ es par $\sum ={\frac {K_{1}}{2}}-{\frac {K_{n}}{2}}$ si $n$ es impar