Optica: Principio de Huygens-Fresnel

Principio de Huygens-Fesnel

El Principio de Huygens indica que cada punto en un frente de onda puede ser considerado como centro de una perturbación secundaria que da lugar a ondas esféricas, y el frente de onda en cualquier instante puede ser considerado como la envolvente de esas ondas. Fresnel pudo darse cuenta de la difracción complementando la Construcción de Huygens con el postulado de que las ondas secundarias interfieren mutuamente.

Desarrollo matemático

Consideremos $S$ la posición instantánea de una onda esférica monocromática con radio $r_{o}$ y centro en $P_{o}$. $P$ es el punto donde queremos ver la perturbación. El punto $Q$ está en la superficie de la espera teniendo un angulo $\theta$ respecto a la linea entre $P_{o}$ y $P$. Ahí existe una perturbación dada por $Q=A{\frac {e^{ikr_{o}}}{r_{o}}}$. Donde $A$ es la amplitud por unidad de tiempo.

Según el Principio de Huygens-Fresnel consideramos cada elemento del frente de onda como centro de una perturbación secundaria la cual se propaga en la forma de ondas esféricas. Tomemos un elemento de perturbación $dU$ debida al elemento S en Q:

$dU(P)=K(\chi ){\frac {Ae^{ikr_{o}}}{r_{o}}}{\frac {e^{iks}}{S}}dS$ (1)

Donde $s=QP$ y $K(\chi )$ es el factor de inclinación que describe la variación con dirección de la amplitud de las ondas secundarias y $\chi$ es el ángulo entre la normal en el punto $Q$ y la línea $s$.

$K(\chi )$ es máximo cuando $\chi =0$ y empieza a decrecer cuando $\chi$ va aumentando. $K(\chi )$ es cero cuando $\chi ={\frac {\pi }{2}}$.

Integrando la ecuación (1) obtenemos la pertubación total en $P$:

$U(P)={\frac {Ae^{ikr_{o}}}{r_{o}}}\iint \limits _{S}{\frac {e^{iks}}{S}}K(\chi )\,dS$ (2)