aproximación paraxial: soluciones Gaussianas
manuel fernández guasti
ecuación diferencial
La ecuación de onda
Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}\psi-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0\label{eq: onda}
para una onda monocromática
deviene en la ecuación de Helmholtz
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\psi+k^{2}\psi=0,\label{eq: helm}
donde .
Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección
z,
Error al representar (función desconocida «\label»): \psi=\tilde{u}\exp\left(ikz\right),\label{eq: sol pref}
donde es un campo complejo \cite[cap.16, p.626]{Siegman86}.
El gradiente es entonces
y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es
pero
de manera que
La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces
Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0.\label{eq: helm comp}
La aproximación paraxial requiere que
Error al representar (función desconocida «\label»): \left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial z^{2}}\right|\ll\left|2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial x^{2}}\right|,\left|\frac{\partial^{2}\tilde{u}}{\partial y^{2}}\right|\label{eq: aprox paraxial}
El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal
mas un operador longitudinal .
En coordenadas cartesianas
o en coordenadas cilíndricas .
De manera que el laplaciano en \eqref{eq: helm comp} se puede sustituir
por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial
Error al representar (función desconocida «\label»): \nabla_{T}^{2}\tilde{u}+2ik\frac{\partial\tilde{u}}{\partial z}=0\label{eq: dif paraxial}
que es una ecuación parabólica.
soluciones
Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas
Error al representar (función desconocida «\label»): \psi_{esf}=\frac{A_{0}}{r}e^{ikr}.\label{eq: sol esf}
Demostración: El gradiente de la magnitud radial es .
De manera que
El laplaciano es entonces
pero y
de manera que el laplaciano deviene
y se satisface la ecuación de onda monocromática\eqref{eq: helm}.
solución aproximada
La expansión de la distancia radial
en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z
es
La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces
Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial \eqref{eq: sol pref},
se obtiene
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \tilde{u}=\frac{A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}\right)\label{eq: sol u pref}
Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada
\eqref{eq: dif paraxial}.
Demostración: El gradiente transversal es
y el laplaciano transversal
que puede escribirse como
Mientras que la primera derivada longitudinal es
de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial \eqref{eq: dif paraxial}.
Solución acotada
Considere la solución para compleja, .
El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse
como
El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de
la función radio de curvatura
Error al representar (función desconocida «\label»): R=\left(z-a\right)+\frac{b^{2}}{\left(z-a\right)}\label{eq: rad curv ab}
El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref}
está multiplicada por , es una amplitud decreciente en las direcciones
transversales
De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales
que decae a a una distancia
donde hemos utilizado la relación . Para
definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades
con mayor significado físico, considere el plano , entonces
donde es el valor mínimo de la función
y se conoce como la cintura del haz
Por otro lado, si se considera el plano , entonces
. Puesto que el área del haz es
, en la distancia el área se duplica. Ésta distancia
se conoce en física como distancia de Rayleigh
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_{R}=\frac{k}{2}w_{0}^{2}=\frac{\pi}{\lambda}w_{0}^{2}.\label{eq: dist de rayleigh}
En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo
que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.
El radio del haz (donde decae a ) es entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w\left(z\right)=w_{0}\sqrt{\frac{\left(z-z_{0}\right)^{2}}{z_{R}^{2}}+1}\label{eq: w ancho del haz}
El radio de curvatura es
Error al representar (función desconocida «\label»): R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}\label{eq: R radio de curvatura}
La representación polar de
es
puede reescribirse como
y
de manera que
mientras que la fase es
La amplitud compleja es entonces\begin{multline}
\tilde{u}=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right)\right]\\
\exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\label{eq: sol u pref param}\end{multline}
La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial
es una Gaussiana dada por \begin{multline}
\psi=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp\left[i\arctan\left(\frac{z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}\right)\right]\\
\exp\left(-\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}\right)\exp\left(ik\frac{\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}\right)\exp\left(ikz\right)\label{eq: sol u pref param}\end{multline}