Optica: Paraxial

aproximación paraxial: soluciones Gaussianas

ecuación diferencial

La ecuación de onda

$\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0$

para una onda monocromática $\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=\psi \left(\mathbf {r} \right)\exp \left(-i\omega t\right)$

deviene en la ecuación de Helmholtz

$\nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =0,$

donde $\omega ^{2}/v^{2}=k^{2}$.

Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección

z,

$\psi ={\tilde {u}}\exp \left(ikz\right),$

donde ${\tilde {u}}$ es un campo complejo \cite[cap.16, p.626]{Siegman86}.

El gradiente es entonces

$\nabla \left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left(\nabla {\tilde {u}}+ik{\tilde {u}}{\hat {e}}_{z}\right)\exp \left(ikz\right)$

y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es

$\nabla ^{2}\left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left[\nabla \cdot \left(\nabla {\tilde {u}}+ik{\tilde {u}}{\hat {e}}_{z}\right)\right]\exp \left(ikz\right)+\nabla \left[\exp \left(ikz\right)\right]\cdot \left(\nabla {\tilde {u}}+ik{\tilde {u}}{\hat {e}}_{z}\right)$

pero

$\nabla ^{2}\left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left[\nabla ^{2}{\tilde {u}}+ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}\right]\exp \left(ikz\right)+\left[ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}-k^{2}{\tilde {u}}\right]\exp \left(ikz\right)$

de manera que

$\nabla ^{2}\left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left[\nabla ^{2}{\tilde {u}}+2ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}-k^{2}{\tilde {u}}\right]\exp \left(ikz\right)$

La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces

$\nabla ^{2}{\tilde {u}}+2ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}=0.$

La aproximación paraxial requiere que

$\left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|2ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}\right|,\left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial x^{2}}}\right|,\left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial y^{2}}}\right|$

El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal $\nabla _{T}$ mas un operador longitudinal ${\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$. En coordenadas cartesianas $\nabla _{T}={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {e}}_{y}$ o en coordenadas cilíndricas $\nabla _{T}=$ ${\frac {\partial }{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }$. De manera que el laplaciano en \eqref{eq: helm comp} se puede sustituir

por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial

$\nabla _{T}^{2}{\tilde {u}}+2ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}=0$

que es una ecuación parabólica.

soluciones

Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas

$\psi _{esf}={\frac {A_{0}}{r}}e^{ikr}.$

Demostración: El gradiente de la magnitud radial es $\nabla r={\hat {\mathbf {r} }}$.

De manera que

$\nabla \psi _{esf}=\left(-{\frac {A_{0}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {A_{0}}{r}}ik{\hat {\mathbf {r} }}\right)e^{ikr}=\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right){\hat {\mathbf {r} }}\psi _{esf}.$

El laplaciano es entonces

${\begin{matrix}\nabla ^{2}\psi _{esf}&=&\nabla \cdot \left[\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right){\hat {\mathbf {r} }}\psi _{esf}\right]\\&=&\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)\psi _{esf}\nabla \cdot {\hat {\mathbf {r} }}+\nabla \left[\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)\psi _{esf}\right]\cdot {\hat {\mathbf {r} }}\end{matrix}}$

pero $\nabla \cdot {\hat {\mathbf {r} }}=2/r$ y

$\nabla \left[\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)\psi _{esf}\right]\cdot {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{r^{2}}}\psi _{esf}+\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)^{2}\psi _{esf}$

de manera que el laplaciano deviene

$\nabla ^{2}\psi _{esf}=\left[{\frac {2}{r}}\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)+{\frac {2}{r^{2}}}-2{\frac {ik}{r}}-k^{2}\right]\psi _{esf}=-k^{2}\psi _{esf}$

y se satisface la ecuación de onda monocromática\eqref{eq: helm}.$\square$

solución aproximada

La expansión de la distancia radial $r={\sqrt {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}}$ en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z es

$r\approx \left(z-z_{1}\right)+{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}}.$

La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces

$\psi _{esf}^{aprox}={\frac {A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}}\exp \left(ik\left(z-z_{1}\right)\right)\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}}\right)$

Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial \eqref{eq: sol pref},

se obtiene

${\tilde {u}}={\frac {A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}}\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}}\right)$

Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada \eqref{eq: dif paraxial}.

Demostración: El gradiente transversal es

$\nabla _{T}{\tilde {u}}={\frac {ik}{\left(z-z_{1}\right)}}{\tilde {u}}\left[\left(x-x_{1}\right){\hat {e}}_{x}+\left(y-y_{1}\right){\hat {e}}_{y}\right]$

y el laplaciano transversal

${\begin{matrix}\nabla _{T}^{2}{\tilde {u}}&=&{\frac {ik}{\left(z-z_{1}\right)}}{\tilde {u}}\nabla _{T}\cdot \left[\left(x-x_{1}\right){\hat {e}}_{x}+\left(y-y_{1}\right){\hat {e}}_{y}\right]\\&&+\left[{\frac {ik}{\left(z-z_{1}\right)}}\nabla _{T}{\tilde {u}}\right].\left[\left(x-x_{1}\right){\hat {e}}_{x}+\left(y-y_{1}\right){\hat {e}}_{y}\right]\end{matrix}}$

que puede escribirse como

$\nabla _{T}^{2}{\tilde {u}}={\frac {2ik}{\left(z-z_{1}\right)}}{\tilde {u}}+{\frac {-k^{2}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}}{\tilde {u}}\left[\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}\right]$

Mientras que la primera derivada longitudinal es

${\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}={\tilde {u}}\left(-{\frac {1}{\left(z-z_{1}\right)}}\right)+{\tilde {u}}\left(-ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)^{2}}}\right)$

de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial \eqref{eq: dif paraxial}.$\square$

Ondas Gaussianas - solución acotada

Considere la solución para ${\tilde {z}}_{1}=a+ib$ compleja, $x_{1},\;y_{1}=0$. El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse

como

${\frac {1}{\left(z-{\tilde {z}}_{1}\right)}}={\frac {z+a}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}}+{\frac {ib}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}}={\frac {1}{R}}+{\frac {2i}{kw^{2}}}$

El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de

la función radio de curvatura

$R=\left(z-a\right)+{\frac {b^{2}}{\left(z-a\right)}}$

El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref} está multiplicada por $ik$, es una amplitud decreciente en las direcciones

transversales

$\exp \left(-{\frac {k}{2}}{\frac {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b\left[{\frac {\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}}+1\right]}}\right).$

De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales

$\exp \left(-x_{j}^{2}/w^{2}\right)$ que decae a $1/e$ a una distancia

$w^{2}=b{\frac {\lambda }{\pi }}\left[{\frac {\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}}+1\right],$

donde hemos utilizado la relación $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$. Para definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades con mayor significado físico, considere el plano $z=a=z_{0}$, entonces

$w^{2}\left(z=z_{0}\right)=w_{0}^{2}=b{\frac {\lambda }{\pi }}\quad \Rightarrow \quad b={\frac {\pi }{\lambda }}w_{0}^{2}$

donde $w_{0}$ es el valor mínimo de la función $w\left(z\right)$

y se conoce como la cintura del haz

$w=w_{0}{\sqrt {{\frac {\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}}+1}}$

Por otro lado, si se considera el plano $z-a=b\equiv z_{R}$, entonces $w\left(z_{R}\right)={\sqrt {2}}w_{0}$. Puesto que el área del haz es $\pi w^{2}$, en la distancia $z_{R}$ el área se duplica. Ésta distancia

se conoce en física como distancia de Rayleigh

$z_{R}={\frac {k}{2}}w_{0}^{2}={\frac {\pi }{\lambda }}w_{0}^{2}.$

En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.

El radio del haz (donde decae a $1/e$) es entonces

$w\left(z\right)=w_{0}{\sqrt {{\frac {\left(z-z_{0}\right)^{2}}{z_{R}^{2}}}+1}}$

El radio de curvatura es

$R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+{\frac {z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}}$

La representación polar de ${\frac {1}{\left(z-{\tilde {z}}_{1}\right)}}={\frac {1}{R}}+{\frac {2i}{kw^{2}}}$

es

${\frac {1}{R}}+{\frac {2i}{kw^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {4}{k^{2}w^{4}}}}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {4R^{2}}{k^{2}w^{4}}}\right)\right]$

${\frac {R}{w^{2}}}$ puede reescribirse como

${\frac {R}{w^{2}}}={\frac {k\;z_{R}}{2\left(z-z_{0}\right)}}$

y

${\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {4}{k^{2}w^{4}}}={\frac {1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}+z_{R}^{2}}}=\left({\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\right)^{2}$

de manera que

${\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {4}{k^{2}w^{4}}}}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {4R^{2}}{k^{2}w^{4}}}\right)\right]={\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}}\right)\right]$

mientras que la fase es

$ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}}=ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}}-{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}}$

La amplitud compleja es entonces

${\tilde {u}}=A_{0}{\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}}\right)\right]\exp \left(-{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}}\right)\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}}\right)$

La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial

es una Gaussiana dada por

$\psi =A_{0}{\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)^{2}}}\right)\right]\exp \left(-{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}}\right)\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}}\right)\exp \left(ikz\right)$

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