Optica: Coherencia

Coherencia

Se dice que dos puntos de una onda son coherentes cuando guardan una relación de fase constante, es decir, cuando conocido el valor instantáneo del campo eléctrico en uno de los puntos, es posible predecir el del otro.

Coherencia temporal, está directamente relacionada con el ancho de banda. Si la luz fuera totalmente monocromática $\triangle \upsilon$ sería cero y $\triangle t_{c}$ sería infinito ya que $\triangle \upsilon \thickapprox {\frac {1}{\triangle t}}$, así el tiempo que satisface esta ecuación recibe el nombre de tiempo de coherencia y se escribe $\triangle t_{c}$. Es decir, el tiempo de coherencia es el intervalo temporal en el que podemos predecir la fase de la onda luminosa en un punto dado del espacio. Si consideramos el campo eléctrico en un punto $P$ en dos instantes distintos $t$ y $t+T$, el tiempo de coherencia es el máximo valor de $T$ para que la diferencia de fase entre el campo en ambos puntos permanece predecible.

El término de coherencia temporal parece implicar un efecto que es exclusivamente temporal, sin embargo, está relacionado con la extensión finita del tren de onda ya sea en el espacio o el tiempo, por depender de la estabilidad de la fase en el tiempo se utiliza el término temporal.

Longitud de coherencia, $\Delta l_{c}=c\Delta t_{c}$, es la extensión en el espacio en la que la onda tiene una forma sinusoidal de tal manera que su fase puede predecirse con seguridad.

Coherencia espacial, se utiliza con más frecuencia para describir efectos procedentes de la extensión espacial finita de fuentes de luz corrientes, es decir, si dos puntos desplazados lateralmente se hallan en el mismo frente de onda en un tiempo determinado, los campos en estos puntos serán coherentes espacialmente.

Coherencia parcial, las perturbaciones totalmente coherentes o totalmente incoherentes son ambas idealizaciones. Las fuentes de luz convencionales no son perfectas, sin embargo, proporcionan iluminación que es una mayor o menor medida coherente, denominada iluminación parcialmente coherente.

En el caso del experimento de Young, para que los efectos de interferencia se puedan observar en la pantalla, es necesario que los trenes de onda de la luz que llegan allí desde las dos aperturas B y C, se traslapen (y, por supuesto, teniendo la misma frecuencia), resultando una diferencia de fase constante entre ellos. Si estas condiciones se cumplen idealmente, la iluminación en las aberturas se dice que es coherente.

Visibilidad

La generación de franjas de interferencia es una medida muy conveniente de la coherencia. La calidad de las franjas producidas por un sistema interferométrico puede describirse cuantitativamente usando la Visibilidad (modulación o contraste) dada por la ecuación,

$V={\frac {I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}},$

donde $I_{max}$ e $I_{min}$, son las irradiancias máxima y mínima respectivamente.

Pensemos en el experimento de Young , con una fuente puntual $S'$ que se halla en el eje óptico o central, ésta produciría el patrón de interferencia usual proporcionado por

$I=4I_{0}\cos ^{2}\left({\frac {Ya\pi }{s\lambda }}\right)$

Si ahora remplazamos a $S'$ por una fuente incoherente lineal, sólo aumentará la cantidad de luz disponible, ya que el producto $E_{1}(t)E_{2}(t)$ varía con el tiempo de valores negativos a positivos, por lo que el término de interferencia será casi cero $I\thickapprox I_{1}+I_{2},$ puesto que la subida y descenso de las ondas no están relacionados, no conservarán una relación de fase constante, así sólo se suman sus irradiancias en la pantalla $\sum _{o}$ en vez de sus amplitudes de campo (fig 1e).

Figura 1.Experimento de Young con una fuente de rendija extensa. (e)Representación de cómo las franjas desplazadas con la misma frecuencia espacial se superponen y se combinan para formar una perturbación neta de esta misma frecuencia espacial

La figura que surge de una fuente ancha con una abertura rectangular de ancho $b$ puede determinarse calculando la irradiancia debida a una fuente lineal continua incoherente, en donde cada elemento diferencial de la fuente lineal contribuirá con un sistema de franjas centrada enn su propio punto imagen , a una distancia $Y_{0}$ desde el origen, por lo tanto la aportación a la irradiancia total procedente de $Y_{0}$ pasa a ser

$dI=AdY_{0}\cos ^{2}\left[{\frac {a\pi }{s\lambda }}\left(Y-Y_{0}\right)\right]$

integrando en la extensión $w$ de la imagen de la fuente, obtenemos la distribución completa dada por:

$I(Y)=A\int _{\frac {-\omega }{2}}^{\frac {\omega }{2}}dY_{0}\cos ^{2}\left[{\frac {a\pi }{s\lambda }}\left(Y-Y_{0}\right)\right]$ $I(Y)={\frac {Aw}{2}}+{\frac {As\lambda }{2a\pi }}\sin \left({\frac {a\pi }{s\lambda }}w\right)\cos \left({\frac {a\pi }{s\lambda }}Y\right)$

La irradiancia oscila alrededor de un valor promedio de ${\tilde {I}}={\frac {Aw}{2}}$, que aumenta con el ancho de la rendija de la fuente. Por lo tanto la irradiancia relativa está dada por

${\frac {I(Y)}{\tilde {I}}}=1+{\frac {\sin \left({\frac {a\pi }{s\lambda }}w\right)}{{\frac {a\pi }{s\lambda }}w}}\cos \left({\frac {2a\pi }{s\lambda }}Y\right)$

donde recordamos que la expresión ${\frac {\sin u}{u}}$ se definio como $\sin {\textrm {c}}u$ Así

${\frac {I(Y)}{\tilde {I}}}=1+\sin c\left({\frac {a\pi }{s\lambda }}w\right)\cos \left({\frac {2a\pi }{s\lambda }}Y\right)$

Para los valores extremos de la irradiancia relativa tenemos:

${\frac {I_{max}}{\tilde {I}}}=1+\left|\sin c\left({\frac {a\pi }{s\lambda }}w\right)\right|$ ${\frac {I_{min}}{\tilde {I}}}=1-\left|\sin c\left({\frac {a\pi }{s\lambda }}w\right)\right|$

De estás últimas ecuaciones vemos que cuando $w$ es muy pequeño en comparación con el ancho de la franja $\left({\frac {s\lambda }{a}}\right)$, la función $\sin c$ se aproxima a 1 e ${\frac {I_{max}}{\tilde {I}}}=2$ mientras que ${\frac {I_{min}}{\tilde {I}}}=0$, Conforme $w$ aumenta, $I_{min}$ empieza a diferir de cero y las franjas pierden contraste hasta perderse completamente en $w=\left({\frac {s\lambda }{a}}\right)$

La visibilidad de las franjas es $V=\left|\sin c\left({\frac {a\pi }{s\lambda }}w\right)\right|$ que como vemos es una función tanto del ancho de la fuente $w$ como de la separación de las aberturas $a$. Conforme la fuente primaria se ensancha más allá de $w=\left({\frac {s\lambda }{a}}\right)$ las franjas reaparecen.

Figura 2. Franjas con la fuente de rendija de tamaño variable. Donde $w$ es el ancho de la imagen de la rendija y ${\frac {s\lambda }{a}}$ es el ancho de pico a pico de las franjas

Para el caso en el que la fuente primaria es circular, calcular la visibilidad resulta ser más complejo, por lo que sólo se mostrará de forma gráfica como cambia la visibilidad manteniendo constante el tamaño de la fuente circular primaria incoherente y aumentando el tamaño de la separación $a$ entre $S_{1}yS_{2}$

Figura 3.Figuras de interferencia de doble haz usando luz parcialmente coherente. Las fotografias corresponden a una variación en la visibilidad a causa de cambios en $a$, que es la separación entre las aberturas.

Figura 4.Figuras de interferencia de doble haz usando luz parcialmente coherente

Función de coherencia mutua y grado de coherencia

En el caso de interferencia de dos o más ondas de luz, las amplitudes y las fases usualmente varían con el tiempo de una manera aleatoria, el flujo de luz instantáneo en un punto dado, por lo tanto, fluctuará rápidamente, parecería entonces más significativo definir la irradiancia como un promedio en el tiempo. En el caso de dos campos $\mathbf {E} _{1}$ y $\mathbf {E} _{2}$ la irradiancia $I$ puede escribirse como:

$I=\left\langle \mathbf {E} \cdot \mathbf {E} ^{*}\right\rangle =\left\langle \left(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {E} _{1}^{*}+\mathbf {E} _{2}^{*}\right)\right\rangle ,$

$I=\left\langle \left|\mathbf {E} _{1}\right|^{2}+\left|\mathbf {E} _{2}\right|^{2}\right\rangle +2Re(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{*}),\qquad (1)$

donde:

$\left\langle f\right\rangle ={\underset {T\rightarrow \infty }{lim}}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)dt,$

Si uno considera escalas de tiempo grandes todas las cantidades son estacionarias, es decir, el promedio en el tiempo es independiente de la elección del origen del tiempo. Supongamos (por conveniencia) que, los campos ópticos tienen la misma polarización de tal manera que su naturaleza vectorial puede ignorarse; con estas suposiciones la ecuación (1) puede escribirse como:

$I=I_{1}+I_{2}+2Re(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{*})\qquad (2)$

donde se han tomado:

$I_{1}=\left|\mathbf {E} _{1}\right|^{2},$

y

$I_{2}=\left|\mathbf {E} _{2}\right|^{2},$

En un experimento usual de interferencia los dos campos $\mathbf {E} _{1}$ y $\mathbf {E} _{2}$ tienen como origen común la misma fuente y van a diferir a causa de una diferencia en sus caminos ópticos.

Sea $t$ el tiempo en que una señal luminosa viaja por la trayectoria 1 y sea $t+\tau$ el tiempo para que la otra señal viaje por la trayectoria 2, entonces el término de interferencia de la ecuación (2) puede escribirse como:

$2Re\Gamma _{12}(\tau ),$

donde

$\Gamma _{12}(\tau )=\left\langle \mathbf {E} _{1}(t)\mathbf {E} _{2}^{*}(t+\tau )\right\rangle$

La función $\Gamma _{12}(\tau ),$ es llamada la función de coherencia mutua o función de correlación de los campos $\mathbf {E} _{1},$ y $\mathbf {E} _{2},$.

A la función $\Gamma _{11}(\tau )=\left\langle \mathbf {E} _{1}(t)\mathbf {E} _{1}^{*}(t+\tau )\right\rangle ,$ se le conoce como función de auto correlación o función de auto coherencia.

De la definición anterior vemos que:

$\Gamma _{11}(0)=I_{1},$ y $\Gamma _{12}(0)=I_{2},$

Algunas veces es conveniente usar una función de correlación normalizada llamada el “grado de coherencia complejo” que se define como:

$\gamma _{12}(\tau )={\frac {\Gamma _{12}(\tau )}{(\Gamma _{11}(0)\Gamma _{22}(0))^{\frac {1}{2}}}}={\frac {\Gamma _{12}(\tau )}{(I_{1}I_{2})^{\frac {1}{2}}}}={\frac {\left\langle {\tilde {E}}_{1}(t+\tau ){\tilde {E}}_{2}^{*}(t)\right\rangle _{T}}{\sqrt {\left\langle \left|{\tilde {E}}_{1}\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|{\tilde {E}}_{2}\right|^{2}\right\rangle }}}$

La irradiancia puede expresarse entonces como:

$I=I_{1}+I_{2}+2(I_{1}I_{2})^{\frac {1}{2}}Re\gamma _{12}(\tau ),\qquad (3)$

, que es la ley general de interferencia para la luz parcialmente coherente.

La función $\gamma _{12}(\tau )$ es, en general, una función compleja periódica de $\tau$, que puede expresarse como

${\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )=\left|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )\right|\ell ^{i\phi _{12}(\tau )}$

Si ponemos $\phi _{12}(\tau )=\alpha _{12}(\tau )-\varphi$, donde $\varphi$ es la diferencia en el ángulo de fase que corresponde a la diferencia de recorrido óptico, por lo tanto $\varphi ={\frac {2\pi }{\overline {\lambda }}}\left(r_{2}-r_{1}\right)$ y así $Re{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )=\left|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )\right|\cos \left[\alpha _{12}(\tau )-\varphi \right]$

De la ecuación (1) y la desigualdad de Schwarz se puede demostrar que $0\leq \left|{\tilde {\gamma }}_{12}(\tau )\right|\leq 1$

Entonces resultará un patrón de interferencia si $\left|\gamma _{12}(\tau )\right|$ tiene un valor distinto de cero; en términos de $\left|\gamma _{12}(\tau )\right|$ tenemos los siguientes tipos de coherencia:

$0<{\begin{array}{c}\left|\gamma _{12}\right|=1\,\,\,\,Limite\,Coherente\\\left|\gamma _{12}\right|<1\,Coherencia\,Parcial\\\left|\gamma _{12}\right|=0\,\,Limite\,Incoherente\end{array}},$

En un patrón de franjas de interferencia la intensidad varía entre dos límites:$I_{max}$ e $I{min}$; de la ecuación (3) vemos que éstas están dadas por:

$I_{max}=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}\left|\gamma _{12}\right|,$

y

$I_{min}=I_{1}+I_{2}-2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}\left|\gamma _{12}\right|$

La visibilidad de las franjas está dada por:

$V={\frac {I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}},$

(4)

y por la ecuación (3), podemos escribir (4) como:

$V={\frac {2(I_{1}I_{2})^{\frac {1}{2}}\left|\gamma _{12}\right|}{I_{1}+I_{2}}},$

En particular, si $I_{1}=I_{2}$, la visibilidad resulta ser entonces:

$V=\left|\gamma _{12}\right|,$

La visibilidad de las franjas es igual al módulo del grado de coherencia parcial; en el caso de límite coherente $\left|\gamma _{12}=1\right|,$ y las franjas de interferencia tienen el máximo contraste que es uno, mientras que para el caso límite incoherente el contraste es cero y no hay franjas de interferencia.

Referencias

1. HECHT, Eugene, Óptica, Adelphi University, Tercera edición, Addison Wesley Iberoamericana, Madrid, 2000,[565-579]

2. FOURIER OPTICS, An Introduction, E.G. STEWARD, Segunda Edición, Dover Publications, Mineola, New York, [cap. 1 y 5]

3. Páginas de internet:

http://www.fisicanet.com.ar/monografias/monograficos3/es29_holografia.php

http://es.wikipedia.org/wiki/Holograf%C3%ADa

4. C.S. Roychoudhuri and K.R. Lefebvre, Van Cittert-Zernike Theorem for introductory Optics course using the concept of fringe visibility,

5. Páginas de internet:

http://www.ucm.es/info/giboucm/Download/solucionario%20ejercicio%207.pdf

http://spiedl.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PSISDG002525000001000148000001&idtype=cvips&gifs=yes