Optica: Capitulo9-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 9

---

Ejercicio 9.1

Regresando a la sección 9.1, sean ${\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)=E_{1}({\vec {r}})e^{-i\omega t}$ & ${\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)=E_{2}({\vec {r}})e^{-i\omega t}$ donde las formas de los frentes de onda no está especificada explítamente especificadas, y $E_{1}$ & $E_{2}$ son vectores complejos cuya dependencia es espacial y por sus fases respectivas iniciales. Muestre que el término de interferencia está dado por:

$I_{12}={\frac {1}{2}}(E_{1}\cdot {\bar {E}}_{2}+{\bar {E}}_{1}\cdot E_{2})$..... (9.109)

Muestra que la ecuación 9.109 lleva a la ecuación 9.11 para ondas planas

Solución

Sea que un campo ${\tilde {E}}$ es la superposición de los campos ${\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)$ & ${\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)$, esto es:

${\tilde {E}}({\vec {r}},t)={\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)+{\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)$

Entonces:

$|{\tilde {E}}({\vec {r}},t)|^{2}=|{\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)|^{2}+|{\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)|^{2}+2{\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)\cdot {\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)$

Tomemos el operador lineal promedio temporal sobre el intervalo T en ambos lados de la ecuación anterior:

$\langle |{\tilde {E}}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}=\langle |{\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}+\langle |{\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}+2\langle {\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)\cdot {\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)\rangle _{T}$

donde $\langle |{\tilde {E}}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}=I,\langle |{\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}=I_{1},\langle |{\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)|^{2}\rangle _{T}=I_{2},2\langle {\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)\cdot {\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)\rangle _{T}=I_{12}$ siempre que seamos negligentes con las constantes, pues, se sabe que $I=\epsilon v\langle |{\vec {E}}|^{2}\rangle _{T}$.

Nos interesa el término $2\langle {\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)\cdot {\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)\rangle _{T}=I_{12}$

Sin embargo, la física se encuentra en la parte real de los campos ${\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)$ & ${\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)$, es decir:

${\tilde {E}}_{1}({\vec {r}},t)\cdot {\tilde {E}}_{2}({\vec {r}},t)=$

Diego de la Cruz López

---

---

Problema 9.46

A partir de la observación fotográfica de los anillos de Newton observamos que las franjas con valores elevados de m parecen separadas por distancias casi iguales. Para comprobarlo de forma analítica, demuestre que:

Error al representar (error de sintaxis): \frac{x_{m+1}-x_m}{x_{m+2}-x_{m+1}}≈1+\frac{1}{2m}

Puede determinarse en el laboratorio (a ravés de las franjas oscuras adyacentes) con independencia de \Delta d

Solución:

--Fernando Valencia Hernández

---

Problema 9.21

Examinar las condiciones bajo la cual las aproximaciones de Ec.(9.23) son validas :

(a) Aplica la ley de los cosenos al triangulo ${S}_{1}{S}_{2}P\quad$ en la Fig. 9.11c para obtener:

${\frac {{r}_{2}}{{\quad r}_{1}\quad }}={\left[1-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta \quad +{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}\right]}^{1/2}$

(b)Expande esto en una serie de Maclaurin produciendo así:

${r}_{2}=r_{1}-\quad asen\theta +{\frac {{a}^{2}}{{2r}_{1}}}{cos}^{2}\theta +.....$

(c) Debido a la luz en la Ec. (9.17) demuestre que si $({r}_{1}-r_{2})$ es igual en a $asen\theta$es requerido que ${r}_{1}>>{a}^{2}/\lambda$

---

Solución:

La formula para la ley del coseno es:

${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}+2abcos\theta$

${c}={\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}+2abcos\theta }}$

Aquí, $c$ es la hipotenusa del triangulo y $a,b$ son los lados opuestos y adyacentes del triangulo y $\theta$ es el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo

(a) En la figura dada, la hipotenusa del triangulo ${S}_{1}{S}_{2}P\quad$ es ${r}_{2}$ la longitud del lado adyacente del triangulo es $a$, y la longitud del lado opuesto del triangulo es${r}_{1}$.

En la figura dada, el angulo entre el lado adyacente y opuesto del triangulo ${S}_{1}{S}_{2}P\quad$ es,

$\theta =90+\theta$

De la ley del coseno:

${r}_{2}^{2}={r}_{1}^{2}+{a}^{2}+{2ar}_{1}cos(90+\theta )$

De lo anterior podemos ver que : $cos(90+\theta )=-sen\theta$

sustituyéndolo en la ecuación anterior y factorizando ${r}_{1}^{2}$ tenemos :

${r}_{2}^{2}={r}_{1}^{2}\left[1+{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta \right]$

Ahora despejenado tenemos:

${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}={\left[1+{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta \right]}^{1/2}$

Por lo tanto, el valor de ${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}$ es ${\left[1+{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta \right]}^{1/2}$

(b)

De la serie de Taylor podemos obtener la serie de Mauclaurin. Una expansión de una función sobre 0 es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x)=f(0)+f´(0)+\frac { f´´(0) }{ 2! } { x }^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } { x }^{ n }

Aplicando la serie de Maclaurin a ${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}={\left[1-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta +{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}\right]}^{1/2}$

${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}={\left[1-2\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)sen\theta +{\left({\frac {a}{{r}_{1}}}\right)}^{2}\right]}^{1/2}$

${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}=1-({\frac {a}{r_{1}}})sen\theta +{\frac {{a}^{2}}{{r}_{1}^{2}}}{\frac {({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}(sen\theta ))^{2}}{2!}}+...$

${\frac {{r}_{2}}{{r}_{1}}}=1-({\frac {a}{r_{1}}})sen\theta +{\frac {{a}^{2}}{{r}_{1}^{2}}}{\frac {cos^{2}\theta }{2!}}+...$

${r}_{2}={r}_{1}-asen\theta +{\frac {{a}^{2}}{2{r}_{1}}}cos^{2}\theta +...$

Por lo tanto el valor de ${r}_{2}$ es ${r}_{1}-asen\theta +{\frac {{a}^{2}}{2{r}_{1}}}cos^{2}\theta +...$

(c)

La contribución $cos{\frac {\delta }{2}}$

A partir del tercer termino en la expansión de Maclaurin será despreciable si,

${\frac {k}{2}}\left({\frac {a^{2}}{2r_{1}}}cos^{2}\theta \right)<<{\frac {\pi }{2}}$

Por lo tanto podemos ver que

$r_{1}>>{\frac {a^{2}}{\lambda }}$

--Ruben Espinosa Guzman

---

Problema 9.48

Uno de los espejos de un Interferómetro de Michelson se mueve, y 1000 pares de franjas se desplazan más allá de la raya de un telescopio de observación durante el proceso. Si el dispositivo está iluminado con una señal de 500 nm, ¿qué distancia se movió el espejo?

Solución

Tenemos los siguientes datos:

Longitud de onda de la luz ${\lambda }_{0}=500nm=500x{10}^{-9}m$

Numero de franjas desplazadas $N=1000$

En el interferometro de Michelson se tiene que:

$\Delta d={\frac {N{\lambda }_{0}}{2}}$

Donde $\Delta d$, es el desplazamiento de un espejo de un interferometro de Michelson:

$\therefore \quad \Delta d={\frac {(500x{10}^{-9}m)(1000)}{2}}$

$\Delta d={10}^{3}(250x{10}^{-9}m)$

$\Delta d=25{x10}^{-5}m$

$\Delta d=0.25{x10}^{-3}m$

$\Delta d=0.25mm$

--Luis Gutiérrez Melgarejo