Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3,
con el siguiente formato:
Ejercicio 3.13 (Hecht, Optics 4 ed)
Pruebe que la irradiancia de una onda electromagnética armónica está dada por::
y determinar el promedio de la energía por unidad de área transportada por una onda plana de .
- Solución:
Consideremos la onda armónica plana::
Dado este campo eléctrico, podemos obtener el campo magnético recurriendo a las ecuaciones de Maxwell, éste resulta ser::
A continuación, determinamos el vector de Poynting::
ya que::
Así, por definición:
siendo T el periodo alrededor de un ciclo completo.
Además,
Pues, y ya que, el promedio temporal en un intervalo de longitud T de y es el mismo, podemos usar la fórmula pitagórica de las funciones trigonométricas para concluir la ecuación (2).
Por lo tanto::
Finalmente, basta considerar la irrandiancia por segundo y sustituir la amplitud en la expresión (2)::
--Diego de la Cruz López
Carlosmiranda (discusión) 23:33 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 3.6
El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por::
a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k.
(c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.
- Solución:
- Analizando en el origen en z=0, tenemos que , , entonces el campo eléctrico es:
- Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en , entonces el campo tiene la forma :
- Notemos que el , implica:
- Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en
- b) Usando la ecuación de onda tenemos:
- Podemos evaluar la expresión para , al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces::
- Haciendo las derivadas:
- La segunda derivada es:
- Similar, para las segundas parciales con respecto a y , tenemos:
- Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:
- Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:
- Despejando:
- De la expresión anterior factorizamos un , resulta:
- Finalmente la expresión para es:
- (c) La velocidad de fase de la onda será
- Simplificando tenemos:
- --Luis Manuel Chávez antonio
Carlosmiranda (discusión) 23:36 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 3.62
Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:
donde::
- Solución:
Ecuación de dispersión::
La ecuación dada es::
sustituimos el valor en la ecuación dada:
Como y
Esta es la ecuación de dispersión
Por lo tanto::
se puede reescribir como::
--Enrique Ortiz Martinez
Carlosmiranda (discusión) 23:38 27 oct 2020 (CDT)
Problema 3.4
Imagine una onda electromagnética con su campo E en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación:
- Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-∂B/∂t
- aplicada a las ondas armónicas:
- y
- lleva a la conclusión de que:
- Solusión:
- Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗
Error al representar (error de sintaxis): ∂B/∂t=B0w sin〖(kx-wt)〗
- Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:
- Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin〖(kx-wt)〗
- Lo que implica que:
- Pero se sabe que . Entonces:
--Fernando Valencia Hernández
Carlosmiranda (discusión) 23:57 27 oct 2020 (CDT)
Problema 3.66
En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:
Donde la son términos constantes y cada es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural ,tal como . Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .
Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de y expandela otra vez.
Solución:
La ecuacion de Sellmeier dada por::
donde es una constante y es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural
Consideramos solo el primer termino de la sumatoria:
Conocemos la expansión binomial de::
donde
por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que entonces tenemos:
despejando a vemos que::
Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por::
realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos::
desarrollando esta expansión tenemos::
Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior::
Ya que y son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante:
A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante::
Y de igual forma a los de orden superior::
Por lo anterior podemos ver que lo podemos reescribir como::
Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.
--Ruben Espinosa Guzmán
Carlosmiranda (discusión) 23:59 27 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 3.21
La siguiente es la expresión para el campo $\vec{\bf E}$ de una onda electromagnética que se desplaza en un dieléctrico homogéneo:
- $\vec{\bf E}=\left(-100 V/m\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_x$
- En este caso, $\omega=1.80 \times 10^{15} rad/s$ y $k=1.20 \times 10^7 rad/m$
- (a) Determine el campo $\vec{\bf B}$ asociado. (b) Calcule el índice de refracción. (c) Calcule la permitividad. (d) Encuentre la irradiancia.
- Solución:
- (a) $\vec{\bf B}$ está en la dirección $\hat{\bf e}_y$, dado que la onda se desplaza en la dirección $\vec{\bf E} \times \vec{\bf B}$ y que apunta en la dirección $\hat{\bf e}_z$
- La velocidad es $v=\omega/k$:
- $v=\frac{1.80 \times 10^{15} rad/s}{1.20 \times 10^7 rad/m}=1.5 \times 10^8 m/s$
- $E_0=vB_0=\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)B_0$
- $B_0=\frac{-100 V/m}{1.5 \times 10^8 m/s}=-6.7 \times 10^{-8} T$
- $\vec{\bf B}=\left(-6.7 \times 10^{-8} T\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_y$
- (b) $n=\frac{c}{v}=\frac{2.99\times 10^8 m/s}{1.5 \times 10^8 m/s}$
- $n=1.993$
- (c) $n=\sqrt{K_E}$
- $n^2=K_E$
- $K_E=3.973$
- $\epsilon=\epsilon_0 K_E$
- $\epsilon=(8.8542 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2})3.973$
- $\epsilon=(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2})$
- (d) $I=\frac{\epsilon v}{2}E_0^2$
- $I=\frac{1}{2}\left(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2}\right)\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)\left(-100 V/m\right)$
- $I=26.38575\frac{W}{m^2}$
--Sergio
Carlosmiranda (discusión) 00:00 28 oct 2020 (CDT)
Problema 3.57
Muestre que para sustancias de baja densidad, como los gases, que tienen una sola frecuencia de resonancia , el índice de refracción viene dado por:
- Solución:
De la ecuación de dispersión:
Donde:
= Frecuencia de resonancia
= Frecuencia
= Numero de electrones
= Carga del electrón
= Masa del electrón
= Permitividad del espacio libre
= Indice de refracción
Para una sola frecuencia de resonancia, tenemos::
Ya que para materiales de baja densidad
Por lo tanto el segundo termino de la Ec. es
Y solo se tendra que conservar los dos primeros terminos de la expansión binomial de
Así mediante el uso de la expansión binomial::
Despreciando terminos de orden superior, tenemos::
Comparando la Ec. con , obtenemos::
Asi:: ya que partir de la Ecuación ::
--Luis Gutiérrez Melgarejo
Carlosmiranda (discusión) 00:01 28 oct 2020 (CDT)
Problema 3.16
Demostrar que una formulación más general del problema anterior produce:
Error al representar (error de sintaxis): { \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right]
Para cualquier intervalo T:
solución:
el promedio de tiempo de una función viene dado por la sig. ecuación integral::
Error al representar (error de sintaxis): { \left< f(t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ f({ t }^{ , }){ dt }^{ \quad , } }
aquí esta la función cuyo promedio de tiempo que se desea calcular, es el periodo de la función armónica y una variable ficticia.
sustituyendo de :
Error al representar (error de sintaxis): { \left< { cos }^{ 2 }\omega t \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ { cos }^{ 2 }(\omega { t }^{ \quad , }){ dt }^{ \quad , } }
usamos la siguiente relación del lado derecho::
eso da::
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ T } \quad \int _{ t }^{ t+T }{ \left[ \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } \right] }
Error al representar (error de sintaxis): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \{ \int _{ t }^{ t+T }{ d{ t }^{ , }+\int _{ t }^{ t+T }{ \left[ cos(2\omega { t }^{ , }d{ t }^{ , } \right] \} } }
Error al representar (error de sintaxis): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ { t }^{ , }+\left[ \frac { \left[ sen(2\omega { t }^{ , } \right] }{ 2\omega } \right] \right]
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ \left[ t+T \right] -t \right] +\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega (t+T)-sen2\omega t \right]
la ecuación anterior da::
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } [T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega t+2\omega T)-sen2\omega t \right]
se escribe como la suma en el segundo termino también en el tercer termino y queda::
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac { 1 }{ 2T } \left[ T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left\{ sen(2\omega t+\omega T+\omega T)\\ -sen(2\omega t+\omega T-\omega T) \right\} \right] ec(1)
recordando la relación trigonométrica general::
sustituyendo pory para
usando esto en la ecuación(1):
usando el termino para el ultimo parentesis...
=
ahora usamos la expresión general::
y esto da::
Error al representar (error de sintaxis): { \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right]
--Salvador Alejandro Morales Carranza
Carlosmiranda (discusión) 00:02 28 oct 2020 (CDT)
Problema 3.35
Una antena parabólica de radar con $2m$ de diámetro trasmite $200 KW$ pulsos de energía. Si la tasa de repetición son $500$ pulsos por segundo, cada uno durando $2 \mu s$. Determinar el promedio de la fuerza de reacción sobre la antena.
Solución
La fuerza se puede calcular mediante la definición de presión:
- A--> Área de la antena
- Con F la fuerza promediada sobre la antena y P la presión promediada. En este caso la presión por radiación ejerce una fuerza de reacción sobre la antena, entonces:
- Con $\langle{S}\rangle$ el promedio en la energía radiada por la antena:
- Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \langle{S}\rangle= \frac{Energía}{(tiempo)(área)}}
- Entonces $\langle{P}\rangle$ es:
- Por lo tanto, $F=PA= \langle{P}\rangle A= 6.66 \times 10^{-7} [\frac{Joules}{Metro}]= 6.66 \times 10^{-7} [Newtons]$
--Pedro Jesús Julián Salgado
Carlosmiranda (discusión) 00:03 28 oct 2020 (CDT)
Problema 3.33
Un haz de luz con una irradiancia de incide normalmente en una superficie que refleja y absorbe . Calcule la presión de radiación resultante en la superficie.
- Solución:
EL componente reflejado tiene un cambio de impulso, y por lo tanto una presión, de dos veces el impulso incidente.
Entonces:
Mientras para el absorbido:
Realizando los cálculos:
Por lo tanto:
--Flor Vivar
Carlosmiranda (discusión) 00:06 28 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 3.15
El promedio temporal de una función $f(t)$ calculado sobre un intervalo $T$ está dado por:
donde $t'$ es una variable muda. Si $\tau = 2 \pi / \omega$ es el periodo de una función armónica, muestre que:
cuando $T = \tau$.
Solución:
Haremos un cambio de variable donde $x = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y por ello $dx = - \omega dt \Rightarrow dt = -dx / \omega$. Ahora tenemos las siguientes identidades trigonométricas:
Como debemos integrar estas funciones, haremos lo siguiente:
donde $a$ y $b$ son los límites de integración, entonces:
Consideremos cuando $T = \tau$.
Entonces:
Error al representar (error de sintaxis): I_{\pm} = - \dfrac{1}{2 \omega} \dfrac{\omega}{2 \pi} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b
con $a = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y $b=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega)$
de donde notamos que:
y por ello simplificamos:
Lo cual prueba las primeras dos igualdades.
Para las siguiente igualdad integremos por partes utilizando el mismo cambio de variable, y trabajando sólo con la integral sin considerar el factor $-1/\omega T$:
de donde despejando la integral original obtenemos:
y debemos evaluar en los mismos límites que el caso anterior, entonces:
que simplificando queda como:
lo que prueba la tercera igualdad.
Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 21:14 28 oct 2018 (CDT)
Carlosmiranda (discusión) 00:07 28 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 3.65
El cuarzo cristalino tiene índices de refracción de 1.557 y 1.547 a longitudes de onda de 410.0 nm y 550 nm, respectivamente. Utilizando solo los primeros dos términos en la ecuación de Cauchy . calcule $C_1$ y $C_2$ y determine el índice de refracción del cuarzo a 610nm.
- Solución:
Augustin-Louis Cauchy definió una ecuación empírica para $n(\lambda)$, su expresión corresponde a la relación en serie de potencias :
donde las son todas constantes.
Tomamos los primeros dos términos:
Usaremos el Subíndice A para $\lambda=410.0 nm$ y el subíndice B para $\lambda=550,0 nm$
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
Despejamos $C_1$ de la primera y $C_2$ de la segunda:
Sustituimos $C_1$ en la segunda expresión:
Para despejar $C_2$:
Error al representar (error de sintaxis): n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 = C_2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)
Error al representar (error de sintaxis): n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)^{-1} = C_2
Al sustituir los valores encontramos que $ C_2 = 0.02617 \mu m^2 $
Sustituyendo este valor para encontrar $C_1$:
Para determinar el valor del índice de refracción del cuarzo cuando $\lambda = 610 nm$, sustituimos los valores de $C_1$ y $C_2$ en la ecuación de Cauchy
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n(610 \times 10^{-9} nm) =1.401+ \frac{0.02617 \times 10^{-12}}{(610 \times 10^{-9})^2 }
Aurea Espin (discusión) 20:05 28 oct 2018 (CDT)
Carlosmiranda (discusión) 00:09 28 oct 2020 (CDT)
Ejercicio 3.32
Una lampara para iluminación fotográfica ordinaria de 3.0 v consume aproximadamente 0.25 A y convierte alrededor del 1.0% de la potencia disipada en luz $(\lambda\approx550\ nm)$. Si el haz tiene inicialmente una sección transversal de $10\ m^2$ y es aproximadamente cilíndrico:
- a) ¿Cuántos fotones se emiten por segundo?:
- b) ¿Cuántos fotones ocupan cada metro de haz?:
- c) ¿Cuál es la densidad de flujo del haz cuando sale de la lampara?:
- Solución:
a)
$p_l=(0.01)p_e$
- donde
$p_e=i\upsilon=\left(0.25\right)\left(3.0\right)=0.75w$
- $p_l=(0.01)(0.75)=75\times{10}^{-4}\ w$:
- Por lo tanto:
$flujo\ de\ fotones=\frac{75\times{10}^{-4}(550\times{10}^{-9})}{(6.63\times{10}^{-34})(3\times{10}^8)}=2.08\times{10}^{16}\ fotones\ /s$
b) existen $2.08\times{10}^{16}$ en el volumen $(3\times{10}^8\ m/s)(1s)({10}^{-3}m^2)$
- $\therefore\frac{2.08\times{10}^{16}}{3\times{10}^5}=0.69\times{10}^{11}\ fotones/m^3$
- c)
$I=\frac{75\times{10}^{-4}\ w}{{10\times10}^{-4}{\ m}^2}=7.5\ w/m^2$
- --Verenisse
Ejercicio 3.1, Optica Hecht 3ra edición
Considere la onda electromagnética plana en SI dadas por las expresiones:
Ex=0,
Ey=$2cos[(2\pi\times 10^{14}) t-\frac{x}{c}+\frac{\pi}{2}]$
y Ez= 0
(a) ¿cuál es la frecuencia, la longitud de onda , la dirección de movimiento, la amplitud, la fase inicial y la polarización de onda?
comparando
Ey=$2cos[(2\pi\times 10^{14}) t-\frac{x}{c}+\frac{\pi}{2}]$....(1) con Ey=$Acos[(2\pi*v) t-\frac{x}{c}+\frac{\pi}{2}]$ ...(2)
se puede apreciar que al comparar 1 y 2
la frecuencia viene dada por $v= 10^{14}$
siendo que la longitud de onda es
${\lambda=\frac{c}{v}}$ = $3\times 10^{8}\frac{1}{10^{14}} = 3\times 10^{-6}$
se mueve en dirección positiva de x
la amplitud viene dada por:
$A=2\frac{V}{m}$
La polarización lineal de la onda:
$\epsilon=\frac{\pi}{2}$, en dirección Y
(b) Escriba una expresión para la densidad de flujo magnético
$Bx=0$
$By=0$
$Bz= \frac{Ey}{c}$
--[[Usuario:|Luisa Alejandra Vega Sanchez]]
Ejercicio 3.3
Considerando la ecuación (3.30) dada por $E_{y}=cB_{z}$, demuestre que la expresión
$\vec k \times \vec E = \omega \vec B$
es correcta aplicándose a una onda plana cuya dirección de campo eléctrico es constante.
Solución
Partiendo de la ecuación (3.30) obtenemos.
$E_{x}=cB_{y}$, $E_{y}=cB_{z}$, $E_{z}=cB_{x}$.
Elevando estas tres ecuaciones al cuadrado y sumándolas obtenemos.
$ E_{x}^{2}+E_{y}^{2}+E_{z}^{2}=c^{2}\left( B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2} \right)\Rightarrow $
$ E^{2}=cB^{2}\Rightarrow $
$ \frac{2\pi}{\lambda}E=2\pi\frac{c}{\lambda}B\Rightarrow $
$ kE=2\pi\nu B $.
Donde ocupamos $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ y $\nu=\frac{c}{\lambda}$,
y sabiendo que $\omega=2\pi \nu$ obtenemos,
$kE=\omega B\Rightarrow$
$kE\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=\omega B\Rightarrow$
$\vec k \times \vec E=\omega \vec B$,
donde por definición el vector $\vec k$ es perpendicular al campo eléctrico $\vec E$, por eso el argumento de $\frac{\pi}{2}$ y $\vec B$ siempre es perpendicular a $\vec E$.
--Jesús Flores Ortega
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