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===Ejercicio 3.65=== | |||
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El cuarzo cristalino tiene indices de refracción de 1.557 y 1.547 a longitudes de onda de 410 ,0 nm y 550 nm, respectivamente. Utilizando solo los primeros dos términos en la ecuación de Cauchy . calcule $C_1$ y $C_2$ y determine el índice de refracción del cuarzo a 610nm. | |||
: '''''Solución''''': | |||
Augustin-Louis Cauchy definió una ecuación empírica para $n(\lambda)$, su expresión corresponde a la relación en serie de potencias : | |||
$n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}+\frac{C_3}{\lambda^4+...}$ | |||
donde las C son todas constantes. | |||
Tomamos los primeros dos términos | |||
$n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}$ | |||
Usaremos el Subíndice A para $\lambda=410.0 nm$ y el subíndice B para $\lambda=550,0 nm$ | |||
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: | |||
$n_A=C_1+\frac{C_2}{\lambda_A^2}$ | |||
$n_B=C_1+\frac{C_2}{\lambda_B^2}$ | |||
Despejamos $C_1$ de la primera y $C_2$ de la segunda: | |||
$n_A- \frac{C_2}{\lambda_A^2}=C_1$ | |||
$n_B \lambda_B^2-C_1 \lambda_B^2=C_2$ | |||
Ahora, sustituimos $C_1$ en la segunda expresión: | |||
$n_B \lambda_B^2- \left(n_A- \frac{C_2}{\lambda_A^2}\right) \lambda_B^2 = C_2$ | |||
Para despejar $C_2$ | |||
$n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 = C_2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)$ | |||
$n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)^{-1} = C_2$ |
Revisión del 13:22 28 oct 2018
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3, con el siguiente formato:
Ejercicio 3.13 (Hecht, Optics 4 ed)
Pruebe que la irradiancia de una onda electromagnética armónica está dada por: y determinar el promedio de la energía por unidad de área transportada por una onda plana de amplitud 15.0 V/m.
- Solución:
Consideremos la onda armónica plana:
Dado este campo eléctrico, podemos obtener el campo magnético recurriendo a las ecuaciones de Maxwell, éste resulta ser:
A continuación, determinamos el vector de Poynting:
ya que,
Así, por definición:
siendo T el periodo alrededor de un ciclo completo.
Además, .....(1)
Pues, y ya que, el promedio temporal en un intervalo de longitud T de y es el mismo, podemos usar la fórmula pitagórica de las funciones trigonométricas para concluir la ecuación (2). Por lo tanto: ......(2)
Finalmente, basta considerar la irrandiancia por segundo y sustituir la amplitud en la expresión (2).
Ejercicio 3.6
El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por: a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k. (c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.
- Solución:
- Analizando en el origen en z=0, tenemos que , , entonces el campo eléctrico es:
- Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en , entonces el campo tiene la forma :
- Notemos que el , implica:
- Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en
- b) Usando la ecuación de onda tenemos:
- Podemos evaluar la expresión para , al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces:
- Haciendo las derivadas:
- La segunda derivada es:
- Similar, para las segundas parciales con respecto a y , tenemos:
- Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:
- Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:
- Despejando:
- De la expresión anterior factorizamos un , resulta:
- Finalmente la expresión para es:
- (c) La velocidad de fase de la onda será
- Simplificando tenemos:
- --Luis Manuel Chávez antonio
Ejercicio 3.62
Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:
donde
- Solución:
Ecuación de dispersión:
..........(3.70)
La ecuación dada es :
sustituimos el valor en la ecuación dada:
Como y
Esta es la ecuación de dispersión
Por lo tanto:
se puede reescribir como:
Problema 3.4
Imagine una onda electromagnética con su campo E en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación
- Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-∂B/∂t
- aplicada a las ondas armónicas:
- y
- lleva a la conclusión de que:
- Solusión:
- Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗 Error al representar (error de sintaxis): ∂B/∂t=B0w sin〖(kx-wt)〗
- Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:
- Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin〖(kx-wt)〗
- Lo que implica que:
- Pero se sabe que . Entonces
Problema 3.66
En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:
Donde la son términos constantes y cada es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural ,tal como . Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .
Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de y expandela otra vez.
Solución:
La ecuacion de Sellmeier dada por:
donde es una constante y es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural
Consideramos solo el primer termino de la sumatoria
Conocemos la expansión binomial de:
donde
por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que entonces tenemos:
despejando a vemos que:
................(1)
Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por:
realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos:
desarrollando esta expansión tenemos:
Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior:
Ya que y son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante
A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante:
Y de igual forma a los de orden superior :
Por lo anterior podemos ver que lo podemos reescribir como:
Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.
Ejercicio 3.21
La siguiente es la expresión para el campo $\vec{\bf E}$ de una onda electromagnética que se desplaza en un dieléctrico homogéneo:
- $\vec{\bf E}=\left(-100 V/m\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_x$
- En este caso, $\omega=1.80 \times 10^{15} rad/s$ y $k=1.20 \times 10^7 rad/m$
- (a) Determine el campo $\vec{\bf B}$ asociado. (b) Calcule el índice de refracción. (c) Calcule la permitividad. (d) Encuentre la irradiancia.
- Solución:
- (a) $\vec{\bf B}$ está en la dirección $\hat{\bf e}_y$, dado que la onda se desplaza en la dirección $\vec{\bf E} \times \vec{\bf B}$ y que apunta en la dirección $\hat{\bf e}_z$
- La velocidad es $v=\omega/k$:
- $v=\frac{1.80 \times 10^{15} rad/s}{1.20 \times 10^7 rad/m}=1.5 \times 10^8 m/s$
- $E_0=vB_0=\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)B_0$
- $B_0=\frac{-100 V/m}{1.5 \times 10^8 m/s}=-6.7 \times 10^{-8} T$
- $\vec{\bf B}=\left(-6.7 \times 10^{-8} T\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_y$
- (b) $n=\frac{c}{v}=\frac{2.99\times 10^8 m/s}{1.5 \times 10^8 m/s}$
- $n=1.993$
- (c) $n=\sqrt{K_E}$
- $n^2=K_E$
- $K_E=3.973$
- $\epsilon=\epsilon_0 K_E$
- $\epsilon=(8.8542 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2})3.973$
- $\epsilon=(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2})$
- (d) $I=\frac{\epsilon v}{2}E_0^2$
- $I=\frac{1}{2}\left(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2}\right)\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)\left(-100 V/m\right)$
- $I=26.38575\frac{W}{m^2}$
--Sergio
Problema 3.57
Muestre que para sustancias de baja densidad, como los gases, que tienen una sola frecuencia de resonancia , el índice de refracción viene dado por:
- Solución:
De la ecuación de dispersión:
Donde:
= Frecuencia de resonancia
= Frecuencia
= Numero de electrones
= Carga del electrón
= Masa del electrón
= Permitividad del espacio libre
= Indice de refracción
Para una sola frecuencia de resonancia, tenemos:
Ya que para materiales de baja densidad Por lo tanto el segundo termino de la Ec. es Y solo se tendra que conservar los dos primeros terminos de la expansión binomial de
Así mediante el uso de la expansión binomial:
Despreciando terminos de orden superior, tenemos:
Comparando la Ec. con , obtenemos:
Asi: ya que partir de la Ec.
Problema 3.16
Demostrar que una formulación más general del problema anterior produce:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): { \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right]
Para cualquier intervalo T
solución:
el promedio de tiempo de una función viene dado por la sig. ecuación integral:
Error al representar (error de sintaxis): { \left< f(t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ f({ t }^{ , }){ dt }^{ \quad , } }
aquí esta la función cuyo promedio de tiempo que se desea calcular, T es el periodo de de la función armónica y t una variable ficticia.
sustituyendo de
Error al representar (error de sintaxis): { \left< { cos }^{ 2 }\omega t \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ { cos }^{ 2 }(\omega { t }^{ \quad , }){ dt }^{ \quad , } }
usamos la siguiente relación del lado derecho:
eso da:
Error al representar (error de sintaxis): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ T } \quad \int _{ t }^{ t+T }{ \left[ \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } \right] }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \{ \int _{ t }^{ t+T }{ d{ t }^{ , }+\int _{ t }^{ t+T }{ \left[ cos(2\omega { t }^{ , }d{ t }^{ , } \right] \} } }
Error al representar (error de sintaxis): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ { t }^{ , }+\left[ \frac { \left[ sen(2\omega { t }^{ , } \right] }{ 2\omega } \right] \right]
Error al representar (error de sintaxis): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ \left[ t+T \right] -t \right] +\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega (t+T)-sen2\omega t \right]
la ecuación anterior da:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } [T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega t+2\omega T)-sen2\omega t \right]
se escribe como la suma en el segundo termino también en el tercer termino y queda:
Error al representar (error de sintaxis): \frac { 1 }{ 2T } \left[ T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left\{ sen(2\omega t+\omega T+\omega T)\\ -sen(2\omega t+\omega T-\omega T) \right\} \right] ec(1)
recordando la relación trigonométrica general:
sustituyendo
usando esto en la ec(1)
usando el termino para el ultimo parentesis...
=
ahora usamos la expresion general:
y esto da:
Error al representar (error de sintaxis): { \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right]
--Salvador Alejandro Morales Carranza
Problema 3.35
Una antena parabólica de radar con $2m$ de diámetro trasmite $200 KW$ pulsos de energía. Si la tasa de repetición son $500$ pulsos por segundo, cada uno durando $2 \mu s$. Determinar el promedio de la fuerza de reacción sobre la antena.
-- Solución -- La fuerza se puede calcular mediante la definición de presión:
$F= PA$
- A--> Area de la antena
- Con F la fuerza promediada sobre la antena y P la presión promediada. En este caso la presión por radiación ejerce una fuerza de reacción sobre la antena, entonces:
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/ c$
- Con $\langle{S}\rangle$ el promedio en la energía radiada por la antena:
- $\langle{S}\rangle= Energía/(tiempo)(área)$
- $\langle{S}\rangle= (2 \times 10^5 W)(500 \times 2 \times 10^-{6})/A$
- Entonces $\langle{P}\rangle$ es:
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/c= 6.66 \times 10^{-7}/A [Joules/metro]$
- Por lo tanto, $F=PA= \langle{P}\rangle A= 6.66 \times 10^{-7} [Joules/Metro]= 6.66 \times 10^{-7} [Newtons]$
Problema 3.33
Un haz de luz con una irradiancia de 2.00 x 10^6 W / m2 incide normalmente en una superficie que refleja 70.0% y absorbe 30.0%. Calcule la presión de radiación resultante en la superficie.
- Solución:
EL componente reflejado tiene un cambio de impulso, y por lo tanto una presión, de dos veces el impulso incidente.
Entonces:
- $P(reflejado)= 2(70 $%$) \frac{I}{c}$
Mientras para el absorbido
- $P(absorbido)= 2(30 $%$) \frac{I}{c}$
Realizando los calculos
- $P_r=2(70 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.93x10^{-2} N/m^2$
- $P_a=2(30 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.20x10^{-2} N/m^2$
Por lo tanto
- $P=P_{r} + P_{a} = 1.13x10^{-2}N/m^2$
Ejercicio 3.15
El promedio temporal de una función $f(t)$ calculado sobre un intervalo $T$ está dado por
$ \dfrac{1}{T} \int_t^{t+T} f(t') dt'$
donde $t'$ es una variable muda. Si $\tau = 2 \pi / \omega$ es el periodo de una función armónica, muestre que
$<sin^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = \dfrac{1}{2}$ , $<cos^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = \dfrac{1}{2}$ , $<sin(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) cos(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = 0$
cuando $T = \tau$ y cuando $T >> \tau$.
Solución: Haremos un cambio de variable donde $x = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y por ello $dx = - \omega dt \Rightarrow dt = -dx / \omega$. Ahora tenemos las siguientes identidades trigonométricas
$sin^2(x) = \dfrac{1}{2} \left[1 - cos(2 x)\right]$
$cos^2(x) = \dfrac{1}{2} \left[1 + cos(2 x)\right]$
Como debemos integrar estas funciones, haremos lo siguiente:
$I_{\pm} = -\dfrac{1}{2\omega T} \int_a^b \left[1 \pm cos(2 x)\right] dx$
donde $a$ y $b$ son los límites de integración, entonces
$I_{\pm} = -\dfrac{1}{2\omega T} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b$
Consideremos los dos casos, cuando $T = \tau$ y cuando $T >> \tau$.
- $T = \tau = 2 \pi / \omega$
Entonces
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{2 \omega} \dfrac{\omega}{2 \pi} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b$
con $a = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y $b=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega)$
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{4 \pi} \left\{\left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega) \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega (t+2\pi/\omega)\right)\right] - \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right)\right]\right\}$
de donde notamos que
$sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega (t+2\pi/\omega)\right) = sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right)$
y por ello simplificamos
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{4 \pi} \left\{\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t - 2 \pi \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right) - \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} + \omega t \mp sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right) \right\} = \dfrac{2 \pi}{4 \pi} = \dfrac{1}{2}$
Lo cual prueba las primeras dos igualdades.
- Ahora, si $T >> \tau$
Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 21:37 27 oct 2018 (CDT)
Ejercicio 3.65
El cuarzo cristalino tiene indices de refracción de 1.557 y 1.547 a longitudes de onda de 410 ,0 nm y 550 nm, respectivamente. Utilizando solo los primeros dos términos en la ecuación de Cauchy . calcule $C_1$ y $C_2$ y determine el índice de refracción del cuarzo a 610nm.
- Solución:
Augustin-Louis Cauchy definió una ecuación empírica para $n(\lambda)$, su expresión corresponde a la relación en serie de potencias :
$n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}+\frac{C_3}{\lambda^4+...}$
donde las C son todas constantes.
Tomamos los primeros dos términos
$n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}$
Usaremos el Subíndice A para $\lambda=410.0 nm$ y el subíndice B para $\lambda=550,0 nm$
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$n_A=C_1+\frac{C_2}{\lambda_A^2}$
$n_B=C_1+\frac{C_2}{\lambda_B^2}$
Despejamos $C_1$ de la primera y $C_2$ de la segunda:
$n_A- \frac{C_2}{\lambda_A^2}=C_1$
$n_B \lambda_B^2-C_1 \lambda_B^2=C_2$
Ahora, sustituimos $C_1$ en la segunda expresión:
$n_B \lambda_B^2- \left(n_A- \frac{C_2}{\lambda_A^2}\right) \lambda_B^2 = C_2$
Para despejar $C_2$
$n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 = C_2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)$
$n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)^{-1} = C_2$