Optica: Capitulo2-problemas
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 2, con el siguiente formato:
Problema 1
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
--Gael
Problema 2
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
Etcétera.
Ejercicio 2.32
Indique cuales de las siguientes ecuaciones representan a una onda viajera:
- $\psi (y,t) = exp\left[-\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right)\right]$
- Solución: Para tener una onda viajera se debe tener una dependencia funcional de la forma:
- $\psi = f(y \mp vt)$
- donde $y$ será la dirección de propagación si el signo de $vt$ es negativo y $-y$ si el signo de $vt$ es positivo. Además
- $v = \dfrac{\omega}{k}$
- Notamos que dentro de la exponencial se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo que
- $\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right) = \left(ay - bt\right)^2 = a^2 \left(y - bt/a\right)^2$
- de donde concluimos que
- * La onda es viajera con dirección de propagación $+y$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = b / a$
- $\psi (z,t) = A \sin \left(az^2 - bt^2\right)$
- Solución: En este caso el argumento de la función seno tiene una dependencia funcional cuadrática en las coordenadas espaciales y temporales, por ello no tiene una dependencia funcional de la forma $f(z \mp vt)$ y no se trata de una onda viajera.
- $\psi (x,t) = A \sin 2\pi \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b} \right)^2$
- Solución: Tenemos dentro de la función seno los términos $\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b}\right)^2 = \dfrac{1}{a^2} \left(x + \dfrac{at}{b}\right)^2$ y por ello
- * La onda es viajera con dirección de propagación $-x$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = a / b$
- $\psi (x,t) = A \cos^2 2\pi \left(t-x\right)$
- Solución: En este caso resulta simple ver que $(t-x) = - (x - t)$ y por ello
- * La onda es viajera con dirección de propagación $+x$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = 1$
Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 13:31 14 oct 2018 (CDT)
Ejercicio 2.21
Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t), y=h(t)$, entonces $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$ Derive la ecuación (2.34) $\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
- Solución:
Para una onda que se propaga con fase constante: $\psi=A \sin k(x\mp vt)$ con $\phi(x,t)=k(x\mp vt)=cosntante$ Cualquier punto de onda armónica con magnitud fija, se mueve de tal manera que $\phi(x,t)$ sea constante en el tiempo, dicho de otra forma, $\frac{d}{dt}\phi(x,t)=0$ o de otra forma, $\frac{d}{dt}\psi(x,t)=0$. Esto es cierto para toda clase de onda, periódica o no.
Así:
$\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial \psi}{\partial t} \frac{dt}{dt}$
$\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} (\pm v)+ \frac{\partial \psi}{\partial t} =0$
Despejando $\pm v$ se obtiene la expersión requerida: $\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
--Sergio
