Optica: Capitulo12-problemas

Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 12

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Ejercicio 12.6

Refiriéndose a la fuente de hendidura y la disposición de la pantalla con orificios de la figura P.12.6, muestre por integración sobre la fuente que: $I(Y)\propto b+{\frac {\sin({\frac {\pi ab}{\lambda l}})}{\frac {\pi a}{\lambda l}}}\cos({\frac {2\pi aY}{\lambda s}})$

solución

En el caso especial de dos fuentes con misma amplitud que inciden en un punto Q, la contribución a la irradiancia por estas fuentes es:

$I=2I_{0}(1+\cos \delta )=4I_{0}\cos ^{2}({\frac {\delta }{2}})$ (ver capítulo 9, ecuación 9.17).

Siendo, por su puesto $I_{0}=I_{1}=I_{2}=\langle |{\vec {E}}_{1}|^{2}\rangle _{T}=\langle |{\vec {E}}_{2}|^{2}\rangle _{T}$ & $\delta$ la diferencia entre las fases de dichas fuentes.

Para un elemento diferencial de la fuente de ancho $dy$ en el punto S', la optical path difference length ,denotado por $\Lambda$, de P en Y vía las dos rendijas es:

$\Lambda =({\bar {S'S_{1}}}+{\bar {S_{1}P}})-({\bar {S'S_{2}}}+{\bar {S_{2}P}})=({\bar {S'S_{1}}}-{\bar {S'S_{2}}})+({\bar {PS_{1}}}-{\bar {S_{2}P}})={\frac {ay}{l}}+{\frac {aY}{s}}$

ya que, recordando que para dos fuentes que inciden sobre un mismo punto Q, la optical path difference length está dada por (bajo la aproximación de ángulos pequeños):

$\Lambda ={\frac {ay}{s}}$ (ver capítulo 9, ecuación 9.23,9.24). De la ecuación 12.2 del capítulo 12, podemos observar que:

$I=4I_{0}\cos ^{2}({\frac {\delta }{2}})=4I_{0}\cos ^{2}(k{\frac {aY}{2s}})=4I_{0}\cos ^{2}({\frac {\pi aY}{\lambda s}})$ & que por la ecuación 12.3 de capítulo 12, podemos escribir la contribución a la irradiancia de un elemento $dy$ como:

$dI\propto (1+\cos(k\Lambda )dy$, siendo, por su puesto, $k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}$.

Por tanto:

$I\propto \int _{\frac {-b}{2}}^{\frac {b}{2}}(1+\cos(k\Lambda )dy=b+\int _{\frac {-b}{2}}^{\frac {b}{2}}\cos({\frac {2ay\pi }{l\lambda }}+{\frac {2aY\pi }{s\lambda }})dy$.

$I\propto b+{\frac {\lambda l}{2\pi a}}[\sin({\frac {ab\pi }{\lambda l}}+{\frac {2\pi aY}{\lambda s}})-\sin(-{\frac {\pi ab}{\lambda l}}+{\frac {2\pi aY}{\lambda s}})]$.

Por tanto, usando las identidades trigonométricas: $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ & $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$, obtenemos:

$I\propto b+{\frac {\lambda l}{\pi a}}\sin({\frac {ab\pi }{\lambda l}})\cos({\frac {2\pi aY}{\lambda s}})$.

Diego de la Cruz López

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