Ondas: probs c2 mov osc

vibraciones y ondas problemas capítulo 2 Óptica - Hecht

2.1

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2.2

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2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por

$y=\left(0.02m\right)\sin \left(157m^{-1}\right)x$

Calcule a) amplitud,b) frecuencia,c) longitud de onda y su periodo

Solución:

la expresión anterior se puede expresar como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x\Rightarrow y=\left(0.02\right)\sin\left(157x\right)\cdots\cdots\cdots\left(1\right)

Entonces la expresión general de una función de onda es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm\omega t\right)\cdots\cdots\cdots\left(2\right)

Para pasar la ec 1 a la exprsión 2 hay que partir de la velocidad para calcular el termino Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega t , entonces:

$v={\frac {\omega }{k}}\Rightarrow \omega =vk=\left(1.2{\frac {m}{s}}\right)\left(157m^{-1}\right)=188.4{\frac {rad}{s}}$

por lo tanto nuestra ecuación 1 queda como:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y\left(x,t\right)=\left(0.02\right)\sin\left(157x+188.4t\right)\cdots\cdots\cdots\left(3\right)

entonces comparando 2 con 3,tenemos que:

a)

$A=0.02$

b)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{188.4\frac{rad}{s}}{2\pi}=29.98\thickapprox30Hz

c)

$\lambda ={\frac {v}{f}}={\frac {1.2{\frac {m}{s}}}{30Hz}}=0.04m$

d)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{188.4\frac{rad}{s}}=0.03s

--MISS (discusión) 01:09 21 jun 2013 (CDT)

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2.13 Usando las funciones de onda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)

$\psi _{2}={\frac {\sin \left(7x+3.5t\right)}{2.5}}$

determine en cada caso los valores de a)amplitud,b)frecuencia,c)velocidad de fase,d)longitud de onda,e)periodo,f)dirección del movimiento. El tiempo se expresa en segundos s y x en metros.

Solución:

Para resolver este problema comparamos la expresión de la función de onda dada

$\psi \left(x,t\right)=A\sin \left(kx\pm wt\right)$

Donde A es la amplitud, k es una constante, w se le denomina frecuencia angular (w = kv) de la igualdad observamos que los valores de los diferentes parámetros son:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A=8\pi

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): kx=0.2x\Rightarrow k=0.2m^{-1}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): wt=3\Rightarrow w=3\frac{rad}{s}

Entonces para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi el inciso:

a)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A=8\pi

b)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.47\approx0.5Hz

c)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v=\frac{\omega}{k}=\frac{3\frac{rad}{s}}{0.2m^{-1}}=15\frac{m}{s}

d)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lambda=\frac{v}{f}=\frac{15\frac{m}{s}}{0.5Hz}=30m

e)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3\frac{rad}{s}}=2.09\approx2.1s

f)

Como el signo entre kx y wt es negativo está indicando que la propagación de la onda es hacia la derecha.

Para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{2} tenemos:

a)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A=\frac{1}{2.5}

b)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.55\approx0.6Hz

c)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v=\frac{\omega}{k}=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{7m^{-1}}=0.5\frac{m}{s}

d)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lambda=\frac{v}{f}=\frac{0.5\frac{m}{s}}{0.6Hz}=0.8m

e)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3.5\frac{rad}{s}}=1.79\approx1.8s

f)

Como el signo entre kx y wt es positivo está indicando que la propagación de la onda es hacia la izquierda.

--MISS (discusión) 23:59 20 jun 2013 (CDT)

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2.14 Demuestre que, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi_{(x,t)}=Asen(k(x-vt)) es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.

Dado que la ecuacion diferencial de onda es:

${\frac {\delta ^{2}\psi }{\delta x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\delta ^{2}\psi }{\delta t^{2}}}$

${\frac {\delta \psi }{\delta x}}=kAcos(kx-kvt)$

${\frac {\delta ^{2}\psi }{\delta x^{2}}}=-k^{2}Asen(kx-kvt)$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\delta\psi}{\delta t}=-kvAcos(kx-kvt)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\delta^{2}\psi}{\delta t^{2}}=-\{-[-k^{2}v^{2}Asen(kx-kvt)]\}

${\frac {\delta ^{2}\psi }{\delta t^{2}}}=-kv^{2}Asen(kx-kvt)$

Entonces, sustituyendo en la ecuacion diferencial.

$-k^{2}Asen(kx-kvt)={\frac {1}{v^{2}}}-kv^{2}Asen(kx-kvt)$

Por lo tanto.

$k^{2}Asen(kx-kvt)=k^{2}Asen(kx-kvt)$

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2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud $10^{3}V/m$ , periodo $2.2x10^{-15}s$ ,y velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 3x10^{8}m/s .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 10^{3}V/m en t=0 y x=0.

R:

$\tau =2.2x10^{-15}s$

sabiendo que $\nu ={\frac {1}{\tau }}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz

obtenemos la longitud de onda con $v=\nu \lambda$

es decir $\lambda ={\frac {v}{\nu }}={\frac {3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}}$

$\lambda =6.6x10^{-7}m$

obtenemos K de la formula $k={\frac {2\pi }{\lambda }}=9.5x10^{6}m^{-1}$

Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es

$\psi (x,t)=A\cos \left[kx+\omega t\right]$

sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.

$\psi (x,t)=\left(10^{3}\right)\cos \left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]$

- --Leticia González Zamora (discusión) 15:27 20 jun 2013 (CDT)

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