Ondas: planas

Este es el ejemplo más sencillo de onda tridimensional. Existe en un instante dado cuando todas las superficies sobre las cuales una perturbación tiene fase constante, forman un conjunto de planos, cada uno generalmente perpendicular a la dirección de propagación.

Para deducir la expresión matemática de un plano perpendicular a un vector dado k y que pasa a través de algún punto $(x_{0},y_{0},z_{0})$, primero se escribe el vector de posición en coordenadas cartesianas, en términos de los vectores unitarios de la base.

${\textbf {r}}=x{\hat {\textbf {i}}}+y{\hat {\textbf {j}}}+z{\hat {\textbf {k}}}$

Comienza en algún origen arbitrario O y termina en el punto $(x,y,z)$ que, por el momento debe ser cualquier lugar en el espacio

De un modo parecido

$({\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{0})=(x-x_{0}){\hat {\textbf {i}}}+(y-y_{0}){\hat {\textbf {j}}}+(z-z_{0}){\hat {\textbf {k}}}$

Estableciendo

$({\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{0})\cdot {\textbf {k}}=0$..................................(1)

obligando al vector $({\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{0})$ a barrer un palno perpendicular a k, al ir adquiriendo su punto extremo $(x,y,z)$ todos los valores permitidos.

Con

${\textbf {k}}=k_{x}{\hat {\textbf {i}}}+k_{y}{\hat {\textbf {j}}}+k_{z}{\hat {\textbf {k}}}$ ........ ............... (2)

la ecuación ...(1) puede expresarse como

$k_{x}(x-x_{0})+k_{y}(y-y_{0})+k_{z}(z-z_{0}){\hat {}}=0$

o como

$k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z{\hat {}}=0$

donde

$a=k_{x}x_{0}+k_{y}y_{0}+k_{z}z_{0}\ =constante$

La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a k es entonces

${\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}=constante=a$

El plano es el lugar de todos los puntos cuyos vectores de posición tienen cada uno la misma proyección en la dirección de ${\textbf {k}}$.

Ahora podemos construir un conjunto de palnos sobre los cuales $\psi ({\textbf {r}})$ varía de manera sinusoidalen el espacio, es decir

$\psi ({\textbf {r}})=ASen({\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}})$

$\psi ({\textbf {r}})=ACos({\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}})$

o

$\psi ({\textbf {r}})=Ae^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$

Por todas estas expresiones $\psi ({\textbf {r}})$ se mantiene constante sobre cada plano definido por ${\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}=constante$. Como estamos analizando las funciones armónicas, deberían repetirse en el espacio después de un desplazamiento de $\lambda$ en la dirección de k. En la figura se representa esta clase de expresión. Del infinito número de planos se han dibujado sólo unos pocos, cada uno con una $\psi ({\textbf {r}})$ diferente. Los planos deberían también haberse dibujado con una extensión espacial infinita, ya qu no se han puesto límites a ${\textbf {r}}$. La perturbación ocupa claramente todo el espacio.

La naturaleza repetitiva espacial de estas funciones armónicas se puede expresar por

$\psi ({\textbf {r}})=\psi ({\textbf {r}}+{\frac {\lambda {\textbf {r}}}{k}})$

Donde $k$ es la magnitud de ${\textbf {k}}$ y ${\textbf {k}}/{k}$ es un vector unitario paralelo a él.En la forma exponencial, esto equivale a

$Ae^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}=Ae^{i{\textbf {k}}\cdot ({\textbf {r}}+\lambda {\textbf {k}}/k)}=Ae^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}e^{i\lambda {k}}$

Para que sea cierto, debemos tener

$e^{i\lambda {k}}=1=e^{i2\pi }$

Por consiguiente

$\lambda {k}=2\pi$

y

<math>k=2\pi/\lambda