Ondas: esfericas

Arrojemos una piedra a un deposito de agua. Las ondas superficiales que proceden del punto de impacto, se esparcen hacia afuera en ondas circulares bidimensionales. Extendiendo esta imagén a tres dimensiones, imaginese una pequeña esfera que late, rodeada de un fluido. La contracción y expansión de la fuente generan variaciones de presión que se propagan hacia afuera como ondas esféricas.

Considérese ahora una fuente puntual ideal de luz. La radiación que procede de ella fluye radialmente hacia afuera, uniformemente en todas las direcciones.Se dice que la fuente es isótropa y los frentes de onda resultantes son de nuevo esféras concéntricas con diámetro creciente cuando se expanden en el espacio que los rodea. La simetría obvia de los frentes de onda sugiere que podría ser más conveniente describirlos matemáticamente en términos de coordenadas esféricas polares.

En esta representación, el operador Laplaciano es

$\nabla ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial {r}}}(r^{2}{\frac {\partial }{\partial {r}}})+{\frac {1}{r^{2}sen\theta }}{\frac {\partial }{\partial {\theta }}}(sen\theta {\frac {\partial }{\partial {\theta }}})+{\frac {1}{r^{2}sen^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\phi ^{2}}}}$

Donde $r,\theta ,\phi$ se definen por

$x=rsen\theta {cos\phi }$

$y=rsen\theta {sen\phi }$

$z=rcos\theta$

Recuerdese que estamos buscando una descripción de ondas esféricas, ondas que son simétricas esféricamente (es decir, que no dependen de $\theta$ ni de $\phi$); por lo tanto

$\psi ({\textbf {r}})=\psi (r,\theta ,\phi )=\psi (r)$

Entonces el Laplaciano de $\psi (r)$ es simplemente

$\nabla ^{2}\psi (r)={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial {r}}}(r^{2}{\frac {\partial {\psi }}{\partial {r}}})$

Este resultado se puede obtener sin conocer la ecuacion (1).

Comiéncese con la forma cartesiana del Laplaciano, ecuación +++ , opérece sobre la función de onda $\psi (r)$ simétricamente esférica y conviertase cada término en coordenadas polares.

Examinando solamente la dependencia de x, tenemos

${\frac {\partial {\psi }}{\partial {x}}}={\frac {\partial {\psi }}{\partial {r}}}{\frac {\partial {r}}{\partial {x}}}$

y

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {x^{2}}}}={\frac {\partial ^{2}{\psi }}{\partial {r^{2}}}}({\frac {\partial {r}}{\partial {x}}})^{2}+{\frac {\partial {\psi }}{\partial {r}}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial {x^{2}}}}$

ya que

$\psi ({\textbf {r}})=\psi (r)$

Utilizando

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

Tenemos ${\frac {\partial {r}}{\partial {x}}}={\frac {x}{r}}$

${\frac {\partial ^{2}r}{\partial {x^{2}}}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial {x}}}(x)+x{\frac {\partial }{\partial {x}}}({\frac {1}{r}})={\frac {1}{r}}(1-{\frac {x^{2}}{r^{2}}})$

y

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {x^{2}}}}={\frac {x^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {r^{2}}}}+{\frac {1}{r}}(1-{\frac {x^{2}}{r^{2}}}){\frac {\partial \psi }{\partial {r}}}$