Ondas: Velocidad de grupo

Introducción

El concepto de velocidad de grupo se debe a W. R. Hamilton en 1839[1]

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865)

, pero la distinción entre las velocidades de fase y de grupo fue puesta en claro por Lord Rayleigh en 1877[2]

Archivo:John William Strutt, tercer barón Rayleigh.jpg

John William Strutt, tercer barón de Rayleigh (1842-1919)

en su "Teoria del sonido".

Definición de onda

Podemos definir a una onda como una perturbación o protuberancia que se propaga, acarreando energía. De manera general, una onda necesita de dos componentes principales para desarrollarse como tal. El primer componente es la fuente de perturbación, es decir un componente físico que actúe de tal forma que pueda crear a la onda. Segundo, en el caso de cualquier tipo de onda requiere un medio para viajar o dispersarse. De lo anterior, podemos interpretar que toda onda cuenta con la característica de que producida en un punto en el espacio y se propaga a través de el.

La perturbación de una onda, se propaga con una determinada dependencia espacio-temporal. La perturbación de una magnitud física consiste a menudo en una variación periódica y sobre todo oscilatoria (repetición entre valores extremos opuestos) por lo que, en particular, la onda se considera como la propagación de una vibración originada en un punto.

Si la forma de pulso de la onda no cambia con el tiempo, podemos representar el desplazamiento $\Psi$ para todos los tiempos posteriores con respecto a un marco de referencia estacionario con un origen en 0, tomando la siguiente forma:

$\Psi =f(z-\upsilon t)$

Esta función representa una onda viajera, es decir, una onda que se mueve hacia la derecha a una velocidad $\upsilon$.

Si el pulso viaja hacia la izquierda el desplazamiento es de la forma:

$\Psi =f(z+\upsilon t)$

Por lo que, una expresión matemática del desplazamiento es:

$\Psi =f(z\pm \upsilon t)$

Supongamos que existen dos ondas que se propagan en una cuerda con diferentes frecuencias y longitudes de onda en el mismo sentido. A la primera onda le asignaremos una función $\Psi _{1}$ y a la segunda onda le asignaremos otra función diferente denominada $\Psi _{2}$. Tal como se muestra en las figuras 1 y 2.

Figura 1. Onda viajera hacia la izquierda Archivo:ONDA VIAJERA A LA IZQUIERDA.jpg

Figura 2. Onda viajera hacia la derecha Archivo:ONDA VIAJERA A LA DERECHA.jpg

Todas las ondas de una clase determinada se desplazan con la misma velocidad de fase en un medio no dispersivo mientras que en un medio dispersivo, la velocidad de propagación depende de su frecuencia. Cuando varias ondas se combinan para formar una perturbación compuesta, la envolvente de modulación se desplazara a una velocidad distinta de la de las ondas constitutivas.

Supongamos que tenemos dos soluciones particulares. Podemos suponer, por tanto, que tenemos dos soluciones casi iguales a la ecuación de onda representadas por las funciones de onda $\psi _{1}$ y $\psi _{2}$, cada una de las cuales tiene la misma aplitud.

$\psi _{1}({\textbf {z}},t)=A\cos(\kappa _{1}z-\omega _{1}t)$

$\psi _{2}({\textbf {z}},t)=A\cos(\kappa _{2}z-\omega _{2}t)$

Donde $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ es la frecuencia angular y $\kappa ={\frac {2\pi }{\lambda }}$ representa el número de longitudes de onda en un período de $2\pi$radianes y se denomina número de onda..

Por el principio de superposición que señala: "La elongación resultante de la interacción de dos ondas es la suma algebraica de las elongaciones correspondientes a las ondas individuales". Es decir, para obtener la onda resultante, tenemos que sumar las funciones de onda $\psi _{1}$ y $\psi _{2}$, quedando una expresión de la siguiente manera:

$\psi ({\textbf {z}},t)=A\cos(\kappa _{1}z-\omega _{1}t)+A\cos(\kappa _{2}z-\omega _{2}t)$

Factorizando esta expresión obtenemos:

$\psi ({\textbf {z}},t)=2A\cos[{\frac {1}{2}}(\kappa _{1}+\kappa _{2})z-{\frac {1}{2}}(\omega _{1}+\omega _{2})t]\cos[{\frac {1}{2}}(\kappa _{1}-\kappa _{2})z-{\frac {1}{2}}(\omega _{1}-\omega _{2})t]$

La expresión anterior para $\Psi$ puede interpretarse como una onda longitud de onda corta, modulada en amplitud mediante una envolvente de longitud de onda larga. Estas dos perturbaciones con forma de ondas se mueven. Pero las dos tienen velocidades diferentes.

Si las dos ondas combinadas son de casi la misma longitud de onda podemos simplificar nuestra descripción para perturbación combinada poniendo

$\kappa _{1}-\kappa _{2}=\Delta \kappa$

${\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}=\kappa$

$\omega _{1}-\omega _{2}=\Delta \omega$

${\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}=\omega$

La velocidad U (llamada velocidad de grupo) a la que se propagan las modulaciones (o grupos de ondas) vendrá dada por la condición de que la fase del términos de amplitud sea constante. Así

$U={\frac {dx}{dt}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta \kappa }}$

En un medio no dispersivo ${\frac {\Delta \omega }{\Delta \kappa }}=V$, por lo que las velocidades de grupo y de fase serán iguales. Sin embargo, cuando haya dispersión, U y V serán distintas.