Ondas: Gaussianas

Haces Gaussianos

Un haz gaussiano es representado por \begin{equation} a\left(x,y,z\right)=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{1/2}\frac{q_{0}}{w_{0}q\left(z\right)}e^{ikz+ik\frac{x^{2}+y^{2}}{2q\left(z\right)}},\label{eq:gaussiano}\end{equation} donde el radio complejo de curvatura esta dado por :

\begin{equation} \frac{1}{q\left(z\right)}\equiv\frac{1}{R\left(z\right)}+i\frac{\lambda}{\pi w^{2}\left(z\right)}. \end{equation}

Esta expresión es solución de la ecuación paraxial. La amplitud del campo es entonces:

\begin{equation} u\left({x,y,z}\right)=\left({\frac{2}{\pi}}\right)^{1/2}\frac{1}{w\left(z\right)}e^{ikz+i\psi\left(z\right)}e^{ik\frac{x^{2}+y^{2}}{2R\left(z\right)}-\frac{x^{2}+y^{2}}{w^{2}\left(z\right)}}. \end{equation}

En espacio libre

\begin{equation} q=z+q_{0}=z+i z_{R} \end{equation}

Donde

\begin{equation} q_{0}=i\frac{\pi w_{0}^{2}}{\lambda} \end{equation}

donde

(5)

$q_{0}=i{\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }},$

Y la distancia de Rayleigh es:

\begin{equation} z_{R}=\frac{\pi w_{0}^{2}}{\lambda} \end{equation}

El ancho del haz es:

\begin{equation} w=w_{0}\sqrt{1+\left({\frac{z}{z_{R}}}\right)^{2}} \end{equation}

Su radio de curvatura es:

\begin{equation} R=z+\frac{z_{R}^{2}}{z} \end{equation}

Y la fase añadida es:

\begin{equation} \psi=\arctan\left({\frac{z}{z_{R}}}\right). \end{equation}

La potencia del haz en función del radio $a$ de la apertura:

\begin{equation} P=1-e^{-\frac{2a^{2}}{w^{2}}}. \end{equation}

La divergencia del haz es:

\begin{equation} \theta_{1/e}=\frac{\lambda}{\pi w_{0}}. \end{equation}

Para una lente de distancia focal $f$, el diámetro en el foco es:

\begin{equation} d_{0}\approx\frac{2f\lambda}{D}, \end{equation}

Donde $D$ es el diámetro de haz a la entrada de la lente.

Plano de máxima curvatura

Para determinar la zona en donde la curvatura de la onda es más severa nos valemos de la expresión que define el radio de curvatura

\begin{equation} R(z)=(z-z_{0})+\frac{z^{2}_{R}}{(z-z_{0})}. \end{equation}

Para encontrar el radio de máxima curvatura se deriva la función anterior.

\begin{equation} \frac{dR(z)}{dz}=1-\frac{z^{2}_{R}}{(z-z_{0})^{2}}, \end{equation}

Y posteriormente se iguala a cero.

\begin{equation} 1-\frac{z^{2}_{R}}{(z-z_{0})^{2}}=0. \end{equation}

Entonces $z_{R}^{2}=(z-z_{0})^{2}$. En esta última expresión tenemos que tener cuidado al despejar $z\$ ya que nos encontraremos con dos raíces una positiva y una negativa i.e.

\begin{equation} \pm\sqrt{z^{2}_{R}}=z-z_{0}. \end{equation}

Las soluciones son:

\begin{equation} z = z_{0}\pm z_{R}, \end{equation}

Es decir, la máxima curvatura se encuentra en la distancia de Rayleigh. Era de esperarse un resultado simétrico puesto que la onda se propaga de igual forma en ambas direcciones.

ver paraxial la discusión de la solución acotada y la Figura. 4.1.

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Aportación de: LPM 11:30 25 nov 2015 (CDT)

Mfg 22:16 7 feb 2009 (CST)

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