Numeros complejos

Un número complejo se puede representar mediante una expresión de la forma $z=x+iy$, donde $x$ y $y$son números reales, e $i$ es un símbolo con la propiedad de que $i^{2}=-1$. El número complejo $x+iy$ también se puede denotar por medio del par ordenado $(x,y)$y graficar como un punto en un plano llamado (plano de Argand), donde el eje $x$ es el eje real y el eje $y$, el eje imaginario, tal como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Números complejos como puntos en el plano de Argand

La parte real del número complejo $x+iy$es el número real $x$la parte imaginaria, el número real $y$.

La suma de dos números complejos se define sumando sus partes reales e imaginarias, respectivamente:

$(x_{1}+iy_{1})+(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})i$

Figura 2. Suma de complejos

El producto de los números complejos se define de la siguiente manera:

$(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=(x_{1})(x_{2}+iy_{2})+(iy_{1})(x_{2}+iy_{2})$ $=x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i+y_{1}x_{2}i+(y_{1}y_{2})i^{2}$

Ya que $i^{2}=-1$, lo anterior se transforma en

$(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2})i$

El complejo conjugado del número complejo $z=x+iy$, se define como ${\tilde {z}}=x-iy$.

Para determinar el cociente de dos números complejos, multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.

${\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\,{\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}$

El módulo, o valor absoluto $|z|$ de un número complejo $z=x+iy$ es su distancia al origen. En la figura 3 vemos que si $z=x+iy$, entonces

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Observe que

$z{\tilde {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+xyi-xyi-y^{2}i^{2}=x^{2}+y^{2}$

de modo que

$z{\tilde {z}}=|z|^{2}$

Figura 3. Módulo, Conjugado y opuesto de un número complejo

Esto explica por qué funciona, en general, el procedimiento de división. ${\frac {z}{w}}={\frac {z}{w}}{\frac {\tilde {w}}{\tilde {w}}}={\frac {z{\tilde {w}}}{|w|^{2}}}$

Forma polar

Si consideramos todo número complejo

${\tilde {z}}=x+iy$

como un punto $(x,y)$ en el plano de Argand (figura 1)este puede representarse en términos de coordenadas polares.

$(r,\theta )$.Tenemos

$x=rcos\theta$, $y=rsen\theta$ ${\tilde {z}}=x+iy=r(cos\theta +i\,sen\theta )$

Donde $r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Figura 4. Forma polar de un número complejo

La forma polar de los números complejos proporciona una perspectiva de la multiplicación y la división, Sean ${\tilde {z_{1}}}=r_{1}(cos\theta _{1}+isen\theta _{1})$ y ${\tilde {z_{2}}}=r_{2}(cos\theta _{2}+isen\theta _{2})$ expresados en forma polar.Entonces

${\tilde {z_{1}}}{\tilde {z_{2}}}=r_{1}r_{2}(cos\theta _{1}+isen\theta _{1})(cos\theta _{2}+isen\theta _{2})$ ${\tilde {z_{1}}}{\tilde {z_{2}}}=r_{1}r_{2}(cos\theta _{1}\,cos\theta _{2}-sen\theta _{1}\,sen\theta _{2})+i(sen\theta _{1}\,cos\theta _{2}+cos\theta _{1}\,isen\theta _{2})$

Con las formulas adición de angulos para coseno y seno, llegamos a

${\tilde {z_{1}}}{\tilde {z_{2}}}=r_{1}r_{2}[(cos\theta _{1}+\theta _{2})+i(sen\theta _{1}+\theta _{2})]$

Figura 5. Producto de complejos en forma polar

Entonces al multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos: ,(figura 3). Un análisis similar muestra que para dividir dos números complejos, se dividen los módulos y se restan los argumentos.

${\frac {\tilde {z_{1}}}{\tilde {z_{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}[cos(\theta _{1}-\theta _{2})+isen(\theta _{1}-\theta _{2})]$

La multiplicación y la divisiónen en forma polar es muy simple y se expresan de la iguiente manera:

${\tilde {z_{1}}}\,{\tilde {z_{2}}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$ En donde utilizamos la fórmula de Euler para expresarlas así.

La fórmula de Euler es:

$\mathbf {e} ^{i\theta }=cos\theta +isen\theta \qquad (1)$

por lo anterior

$e^{i(-\theta )}=cos(-\theta )+isen(-\theta )$

debido a que $cos(-\theta )=cos(\theta )$ por ser una función par y $sen(-\theta )=-sen(\theta )$ por ser una función impar

tenemos que

$e^{-i\theta }=cos\theta -isen\theta \qquad (2)$

sumando y substrayendo la ecuación (1) y (2) llegamos a

$cos\theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$,

$sen\theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2i}}$

Esta misma formula nos permite escribir

${\tilde {z}}=re^{i\theta }=rcos\theta +irsen\theta$

Cualquier número complejo se puede representar como la suma de una parte real $Re({\tilde {z}})$ y una parte imaginaria $Im({\tilde {z}})$ tal como se menciono anteriormente.

${\tilde {z}}=Re({\tilde {z}})+Im({\tilde {z}})$

En la forma polar donde

$Re({\tilde {z}})=rcos\theta$

y

$Im({\tilde {z}})=rsen\theta$

En el caso particular, como es el de describir una onda armónica en su representación compleja , tenemos la libertad de escoger cualquier parte.