Numeros complejos

Un número complejo se puede representar mediante una expresión de la forma \(z=x+iy\), donde \(x\) y \(y\)son números reales, e \(i\) es un símbolo con la propiedad de que \(i^2=-1\). El número complejo \(x+iy\) también se puede denotar por medio del par ordenado \((x,y)\)y graficar como un punto en un plano llamado (plano de Argand), donde el eje \(x\) es el eje real y el eje \(y\), el eje imaginario, tal como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Números complejos como puntos en el plano de Argand

La parte real del número complejo \(x+iy\)es el número real \(x\)la parte imaginaria, el número real \(y\).

La suma de dos números complejos se define sumando sus partes reales e imaginarias, respectivamente:

\((x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\)

Figura 2. Suma de complejos

El producto de los números complejos se define de la siguiente manera:

\((x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1)(x_2+iy_2)+(iy_1)(x_2+iy_2)\) \(=x_1x_2+x_1y_2i+y_1x_2i+(y_1y_2)i^2\)

Ya que \( i^2=-1\), lo anterior se transforma en

\((x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+y_1x_2)i\)

El complejo conjugado del número complejo \(z=x+iy\), se define como \(\tilde{z}=x-iy\).

Para determinar el cociente de dos números complejos, multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.

\(\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\,\frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2}\)

El módulo, o valor absoluto \(|z|\) de un número complejo \(z=x+iy\) es su distancia al origen. En la figura 3 vemos que si \(z=x+iy\), entonces

\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)

Observe que

\(z\tilde{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+xyi-xyi-y^2i^2=x^2+y^2\)

de modo que

\(z\tilde{z}=|z|^2\)

Figura 3. Módulo, Conjugado y opuesto de un número complejo

Esto explica por qué funciona, en general, el procedimiento de división. \(\frac{z}{w}=\frac{z}{w}\frac{\tilde{w}}{\tilde{w}}=\frac{z\tilde{w}}{|w|^2}\)

Forma polar

Si consideramos todo número complejo

\(\tilde{z}=x+iy\)

como un punto \((x,y)\) en el plano de Argand (figura 1)este puede representarse en términos de coordenadas polares.

\((r,\theta)\).Tenemos

\(x=rcos\theta\), \(y=rsen\theta\) \(\tilde{z}=x+iy=r(cos\theta+i\, sen\theta)\)

Donde \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)

Figura 4. Forma polar de un número complejo

La forma polar de los números complejos proporciona una perspectiva de la multiplicación y la división, Sean \(\tilde{z_1}=r_1(cos\theta_1+isen\theta_1)\) y \(\tilde{z_2}=r_2(cos\theta_2+isen\theta_2)\) expresados en forma polar.Entonces

\(\tilde{z_1}\tilde{z_2}=r_1r_2(cos\theta_1+isen\theta_1)(cos\theta_2+isen\theta_2)\) \(\tilde{z_1}\tilde{z_2}=r_1r_2(cos\theta_1\,cos\theta_2-sen\theta_1\,sen\theta_2)+i(sen\theta_1\,cos\theta_2+cos\theta_1\,isen\theta_2)\)

Con las formulas adición de angulos para coseno y seno, llegamos a

\(\tilde{z_1}\tilde{z_2}=r_1r_2[(cos\theta_1+\theta_2)+i(sen\theta_1+\theta_2)]\)

Figura 5. Producto de complejos en forma polar

Entonces al multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos: ,(figura 3). Un análisis similar muestra que para dividir dos números complejos, se dividen los módulos y se restan los argumentos.

\(\frac{\tilde{z_1}}{\tilde{z_2}}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+isen(\theta_1-\theta_2)]\)

La multiplicación y la divisiónen en forma polar es muy simple y se expresan de la iguiente manera\[\tilde{z_1}\, \tilde{z_2}=r_1 r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\] En donde utilizamos la fórmula de Euler para expresarlas así.

La fórmula de Euler es:

\(\mathbf{e}^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\qquad (1)\)

por lo anterior

\(e^{i(-\theta)}=cos(-\theta)+isen(-\theta)\)

debido a que \(cos(-\theta)=cos(\theta)\) por ser una función par y \(sen(-\theta)=-sen(\theta)\) por ser una función impar

tenemos que

\(e^{-i\theta}=cos\theta-isen\theta\qquad (2)\)

sumando y substrayendo la ecuación (1) y (2) llegamos a

\(cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\),

\(sen\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2i}\)

Esta misma formula nos permite escribir

\(\tilde{z}=re^{i\theta}=rcos\theta+irsen\theta\)

Cualquier número complejo se puede representar como la suma de una parte real \(Re(\tilde{z})\) y una parte imaginaria \(Im(\tilde{z})\) tal como se menciono anteriormente.

\(\tilde{z}=Re(\tilde{z})+Im(\tilde{z})\)

En la forma polar donde

\(Re(\tilde{z})=rcos\theta\)

y

\(Im(\tilde{z})=rsen\theta\)

En el caso particular, como es el de describir una onda armónica en su representación compleja , tenemos la libertad de escoger cualquier parte.