Numeros complejos

Numeros complejos, propiedades y operaciones con numeros complejos.

Introducción

Un número complejo se puede representar mediante una expresión de la forma $z=x+iy$, donde $x$ y $y$son números reales, e $i$ es un símbolo con la propiedad de que $i^{2}=-1$. El número complejo $x+iy$ también se puede denotar por medio del par ordenado $(x,y)$y graficar como un punto en un plano llamado (plano de Argand), donde el eje $x$ es el eje real y el eje $y$, el eje imaginario, tal como se muestra en la figura 1.

Operaciones básicas de números complejos

Figura 1. Números complejos como puntos en el plano de Argand

La parte real del número complejo $x+iy$es el número real $x$la parte imaginaria, el número real $y$.

La suma de dos números complejos se define sumando sus partes reales e imaginarias, respectivamente:

$(x_{1}+iy_{1})+(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})i$

Figura 2. Suma de complejos

El producto de los números complejos se define de la siguiente manera:

$(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=(x_{1})(x_{2}+iy_{2})+(iy_{1})(x_{2}+iy_{2})$ $=x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i+y_{1}x_{2}i+(y_{1}y_{2})i^{2}$

Ya que $i^{2}=-1$, lo anterior se transforma en

$(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2})i$

El complejo conjugado del número complejo $z=x+iy$, se define como ${\tilde {z}}=x-iy$.

Para determinar el cociente de dos números complejos, multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.

${\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\,{\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}$

El módulo, o valor absoluto $|z|$ de un número complejo $z=x+iy$ es su distancia al origen. En la figura 3 vemos que si $z=x+iy$, entonces

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Observe que

$z{\tilde {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+xyi-xyi-y^{2}i^{2}=x^{2}+y^{2}$

de modo que

$z{\tilde {z}}=|z|^{2}$

Figura 3. Módulo, Conjugado y opuesto de un número complejo

Esto explica por qué funciona, en general, el procedimiento de división. ${\frac {z}{w}}={\frac {z}{w}}{\frac {\tilde {w}}{\tilde {w}}}={\frac {z{\tilde {w}}}{|w|^{2}}}$

Forma polar

Si consideramos todo número complejo

${\tilde {z}}=x+iy$

como un punto $(x,y)$ en el plano de Argand (figura 1)este puede representarse en términos de coordenadas polares.

$(r,\theta )$.Tenemos

$x=rcos\theta$, $y=rsen\theta$ ${\tilde {z}}=x+iy=r(cos\theta +i\,sen\theta )$

Donde $r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Figura 4. Forma polar de un número complejo

La forma polar de los números complejos proporciona una perspectiva de la multiplicación y la división, Sean ${\tilde {z_{1}}}=r_{1}(cos\theta _{1}+isen\theta _{1})$ y ${\tilde {z_{2}}}=r_{2}(cos\theta _{2}+isen\theta _{2})$ expresados en forma polar.Entonces

${\tilde {z_{1}}}{\tilde {z_{2}}}=r_{1}r_{2}(cos\theta _{1}+isen\theta _{1})(cos\theta _{2}+isen\theta _{2})$ ${\tilde {z_{1}}}{\tilde {z_{2}}}=r_{1}r_{2}(cos\theta _{1}\,cos\theta _{2}-sen\theta _{1}\,sen\theta _{2})+i(sen\theta _{1}\,cos\theta _{2}+cos\theta _{1}\,isen\theta _{2})$

Con las formulas adición de angulos para coseno y seno, llegamos a

${\tilde {z_{1}}}{\tilde {z_{2}}}=r_{1}r_{2}[(cos\theta _{1}+\theta _{2})+i(sen\theta _{1}+\theta _{2})]$

Figura 5. Producto de complejos en forma polar

Entonces al multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos: ,(figura 3). Un análisis similar muestra que para dividir dos números complejos, se dividen los módulos y se restan los argumentos.

${\frac {\tilde {z_{1}}}{\tilde {z_{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}[cos(\theta _{1}-\theta _{2})+isen(\theta _{1}-\theta _{2})]$

La multiplicación y la división en en forma polar es muy simple y se expresan de la siguiente manera:

${\tilde {z_{1}}}\,{\tilde {z_{2}}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$ En donde utilizamos la fórmula de Euler para expresarlas así.

La fórmula de Euler es:

$\mathbf {e} ^{i\theta }=cos\theta +isen\theta \qquad (1)$

por lo anterior

$e^{i(-\theta )}=cos(-\theta )+isen(-\theta )$

debido a que $cos(-\theta )=cos(\theta )$ por ser una función par y $sen(-\theta )=-sen(\theta )$ por ser una función impar

tenemos que

$e^{-i\theta }=cos\theta -isen\theta \qquad (2)$

sumando y substrayendo la ecuación (1) y (2) llegamos a

$cos\theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$,

$sen\theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2i}}$

Esta misma formula nos permite escribir

${\tilde {z}}=re^{i\theta }=rcos\theta +irsen\theta$

Cualquier número complejo se puede representar como la suma de una parte real $Re({\tilde {z}})$ y una parte imaginaria $Im({\tilde {z}})$ tal como se menciono anteriormente.

${\tilde {z}}=Re({\tilde {z}})+Im({\tilde {z}})$

En la forma polar donde

$Re({\tilde {z}})=rcos\theta$

y

$Im({\tilde {z}})=rsen\theta$

En el caso particular, como es el de describir una onda armónica en su representación compleja , tenemos la libertad de escoger cualquier parte.

Referencias

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Aportación por usuario: Usuario: Isela Isela

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Números complejos y algunas propiedades

Los número complejos surgen por la necesidad de realizar y/o resolver ecuaciones cuadráticas en los reales donde tenemos que:

$x^{2}+1=0\Rightarrow x^{2}=-1$ por lo cual la respuesta es:

$x=\sqrt{-1}$ este es imposibles en los reales y por este motivo se dio la necesidad de tener un nuevo conjunto de números llamados complejos. Naturalmente tenemos que: $\mathbb{R\epsilon\mathbb{C}}$

Y para nuestra comodidad en los complejos tenemos que a la raíz de menos uno le denominamos una letra llamada i, así de nuestro ejemplo tenemos que:

$x=i$

Comúnmente los complejos se denominan con la letra z y tienen una parte real y una imaginaria:

$z=x+iy$ o también $z=a+ib$ donde x ó a se denotan por reales también y y ó b son los imaginarios del número complejo z.

También existen su conjugado en complejos la cual es:

$\overline{z}=a-bi$

Tenemos algunas propiedades de la suma para estos números que son similares a la de los reales:

• 1 Es cerrada bajo la suma

• 2 Es asociativa

• 3 Existe un neutro o idéntico aditivo

• 4 Existe un inverso aditivo

• 5 Pueden conmutar

Para demostrar estas 5 propiedades tenemos que:

$z=a+bi$ , $w=c+di$ y $v=e+fi$

• 1.- $z+w=\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i$

Por lo tanto $\left[z+w\right]\epsilon\mathbb{C}$

• 2.- $\left(z+w\right)+v=z+\left(w+v\right)$

$\left(z+w\right)+v=\left[\left(a+bi\right)+c+di\right]+\left(e+fi\right)=\left[\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i\right]+\left(e+fi\right)=\left[\left(\left(a+c\right)+e\right)+\left(\left(b+d\right)+f\right)i\right]=$

$=\left[a+\left(c+e\right)\right]+\left[b+\left(d+f\right)\right]i=\left(a+bi\right)+\left[\left(c+e\right)+\left(b+f\right)i\right]=z+\left(w+v\right)$

• 3.- $0+z=\left(0+0i\right)+\left(a+bi\right)=\left(0+a\right)+\left(0+b\right)i=a+bi=z$

• 4.-$z+\left(-z\right)=\left(a+bi\right)+\left(-a-bi\right)=\left(a-a\right)+\left(b-b\right)i=0+0i=0$

Además análogamente:

$-z+z=\left(-a-bi\right)+\left(a+bi\right)=0+0i=0$

• 5.-$z+w=w+z$

$z+w=\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i=\left(c+a\right)+\left(d+b\right)i=\left(c+di\right)+\left(a+bi\right)=w+z$

Análogamente también existen propiedades de la multiplicación para los complejos como en los reales:

• 1.-Es cerrada

• 2.-Es asociativa

• 3.-Existe un neutro multiplicativo

• 4.-Existe un inverso multiplicativo

Sean $z=a+bi$ y $w=c+di$ y $v=e+fi$

• 1.- $zw=\left(a+bi\right)\left(c+di\right)=\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i$

• 2.-$\left(zw\right)v=z\left(wv\right)$

• 3.-$1\cdotp z=z=z\cdotp1$

• 4.-$z\cdotp z^{-1}=1$

Además existen propiedades para los complejos de la forma $a+bi$ tales como

• 1) \[\overline{z\pm w}=\overline{z}\pm\overline{w}\]

• 2) \[\overline{z\cdotp w}=\overline{z}\overline{w}\]

• 3) \[\frac{\overline{z}}{w}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}\]

• 4) \[\overline{\overline{z}}=z\]

• 5) \[\overline{z}=z\] solo si z es real

• 6) \[z\overline{z}=\left|z\right|^{2}\]

• 7) \[\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{\left|z\right|^{2}}\]

• 8) \[\left|z\right|\geq0\] para todo z en los complejos

• 9) \[\left|z\right|=0\Longleftrightarrow z=0\]

• 10) \[\left|zw\right|=\left|z\right|\left|w\right|\]

• 11) \[\left|\frac{z}{w}\right|\frac{\left|z\right|}{\left|w\right|}\]

• 12) \[\left|z+w\right|\leq\left|z\right|+\left|w\right|\]

Potencias de i

$i=\sqrt{-1}$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i=-\sqrt{-1}$

$i^{4}=i^{2}i^{2}=\left(-1\right)\left(-1\right)=1$

$i^{5}=i^{4}i=1\sqrt{-1}=i$

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Realizado por: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 15:49 5 jul 2015 (CDT)

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Operadores diferenciales complejos.

Definimos a los operadores como $\nabla$ (delta) y $\nabla^{*}$ (delta trazo) por

$\nabla \equiv \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} = 2 \frac{\partial}{\partial z^{*}}$

$\nabla^{*} \equiv \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} = 2 \frac{\partial}{\partial}$

Donde $z^{*} $ es el conjugado de $z$

El operador $\nabla$ nos lleva a definir las siguientes operaciones. En todos los casos consideramos $F(x, y)$ como una función real continuamente diferenciable de $x$ y $y$ (escalar), mientras $A(x, y) = P(x, y) + iQ(x. y)$ es una función compleja continuamente diferenciable de $x$ y (vectorial).

En términos de las coordenadas conjugadas, $F(x, y) = F(\frac{z + z^{*}}{2}, \frac{z + z^{*}}{2i}) = G(z, z^{*})$ y $A(x, y) = B(z, z^{*})$ .

Gradiente

Definimos el gradiente de una función real $F$ (escalar) por

$grad F = \nabla F = \frac{\partial F}{\partial x} + i \frac{\partial F}{\partial y} = 2 \frac{\partial G}{\partial z^{*}}$

Geométricamente, esto representa un vector normal a la curva $F(x, y) = c$ donde $c$ es una constante.

Similarmente, el gradiente de una función compleja $A = P + iQ$ (vectorial) esta definida por

$grad A = \nabla A = (\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}) (P + iQ) = \frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial Q}{\partial y} + i(\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x}) = 2\frac{\partial B}{\partial z^{*}}$

En particular si $B$ es una función analítica de $z$ entonces $\frac{\partial B}{\partial z^{*}} = 0$ y así el gradiente es cero; es decir, $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y}, \frac{\partial P}{\partial y} = - \frac{\partial Q}{\partial x}$, lo cual muestra que las ecuaciones de Cauchy - Riemann son satisfechas en este caso.

Divergencia

Usando la definición de producto interior de dos números complejos para extenderla al caso de operadores, definimos la divergencia de una función compleja (vectorial) por

$div A = \nabla \cdot A = Re {\nabla^{*} A} = Re \{(\frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}) (P + iQ)\} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = 2 Re \{\frac{\partial B}{\partial z}\}$

Similarmente podemos definir la divergencia de una función real. Nótese que la divergencia de una función real o compleja (escalar o vectorial) es siempre una función real (escalar).

Rotor

Utilizando la definición del producto vectorial de dos números complejos definimos el rotor de una función real o compleja por medio de

$Rot A = \nabla \times A = Im \{\nabla^{*} A\} = Im \{(\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y})(P + iQ) \} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 Im \{\frac{\partial B}{\partial z} \}$

Similarmente podemos definir el rotor de una función real.

Laplaciano

El operador laplaciano esta definido como el producto escalar de $\nabla$ consigo mismo, es decir.

$\nabla \cdot \nabla \equiv \nabla^2 \equiv Re \{\nabla^{*} \nabla\} = Re \{(\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}) (\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y})\} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} = 4 \frac{\partial^2}{\partial z \partial z^{*}}$

Notemos que si $A$ es analítica, $\nabla^2 A = 0$ así que $\nabla^2 P = 0$ y $\nabla^2 Q = 0$ , es decir, $P$ y $Q$ son armónicas.

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Aportación de: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 18:47 5 jul 2015 (CDT)

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