Investigacion: RO18O

Este espacio es para que desarrollen su tema de investigación.

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Quiralidad Óptica y su interacción con la materia

El objetivo de esta información es mostrar una introducción y generar ideas elementales de qué teoría y qué se deben usar para explicar el efecto de la quiralidad óptica ya que puede ser bastante engorroso mostrar paso a paso los desarrollos matemáticos.

Un objeto quiral (en general en tres dimensiones) es un objeto tal que no se puede superponer con su imagen especular. En otras palabras, dichos objetos, por más que lo rotemos en distintos sentidos, nunca se obtendrá su imagen especular. El ejemplo clásico de un objeto quiral, son las manos. Uno puede hacer el simple experimento en intentar rotar y mover la mano (por ejemplo, la izquierda) para generar una imagen igual a la otra mano. Claramente nunca podrá quedar igual.

Ya que entendemos la definición de un objeto quiral, se define como enantiómeros, que son objetos con quiralidad opuesta (al superponerlos quedan de cierta forma en “sentidos opuestos”). En la física, dichos objetos enantiomerismo, generalmente son idénticos en sus magnitudes físicas como la densidad, peso molecular, entalpía de formación, frecuencias de vibración, etcétera

Para aterrizar los conceptos, la luz circularmente polarizada (LCP) es un objeto quiral. Y al tener una molécula quiral dicha molécula tendrá diferentes secciones rectas de absorción cuando se ilumina con LCP izquierda o ferecha.

En la ciencia, definen el factor de desimetría g que es la fracción entre las diferentes absorciones de luz. Cabe resaltar que este efecto de absorción de LCP no puede ser visible teóricamente con la expansión dipolar del sistema, sino que requiere expansión a primer orden de la forma ka~〖10〗^(-3) donde k es el el vector de la onda de luz mientras que a es el tamaño de la molécula.

Como nota para observar las dimensiones de dificultad de este tipo de estudios, cuando se tiene una onda electromagnética no plana que varía (aunque sea poco) sobre la distancia en dimensiones de la molécula, se tiene que los grados de desimetría dependen locamente, cosa que genera muchos problemas para el estudio de los mismos comparado con un campo homogéneo ya que para éste sucede lo mismo en cualquier punto del espacio de la molécula.

Para el estudio de las interacciones quirales, se una un pseudoescalar (cantidad que se comporta como escalar, pero cambia de signo bajo rotaciones impropias). En la literatura, Lipkin propuso la siguiente cantidad:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C≡\frac{ϵ_0}{2}E∙∇×E+\frac{1}{2μ_0}B∙∇×B

Usando las ecuaciones de Maxwell podemos reescribir dicha ecuación de la siguiente forma:

Error al representar (error de sintaxis): C=\frac{ϵ_0}{2}{-E∙\frac{∂B}{∂t}+B∙\frac{∂E}{∂t}}

Donde ϵ_0 y μ_0 es la permitibidad y permeabilidad en el vacío mientras que E y B son el campo eléctrico y magnético respectivamente.

Dicha cantidad C representa el grado de asimetría quiral de excitación para una molécula pequeña. La respuesta de éstas moléculas interactuando con una perturbación de un campo electromagnético (CEM) pueden ser obtenidos desde la teoría o desde el experimento. Una molécula sujeta a un CEM monocromático (una sola longitud de onda) genera un momento dipolar eléctrico p y un momento dipolar eléctrico m. dados por:

$p=\alpha E'-iG'B'$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m=χ'B'+iG'E'

NOTA IMPORTANTE: toda cantidad "primas", son valores complejos. Las cantidades α y χ. Son la polarización eléctrica y la susceptibilidad magnética respectivamente mientras que los campos eléctrico y magnético son campos locales de la molécula (ya que locálmente, en general dichos campos no son iguales). También cabe resaltar que solo las cantidades que pertenecen a los reales son las cantidades físicas.

Ahora consideremos los siguientes campos eléctrico y magnético:

$E'(t)=E'_{0}e^{-i\omega t}$ y $B'(t)=B'_{0}e^{-i\omega t}$

Nota: el campo E posee paridad (inversión de coordenadas espaciales) par mientras que B es impar.

Entonces, la taza de excitación de la molécula, (suponiendo que interactúa con la LCP un tiempo razonablemente largo) está dada por el promedio temporal de:

Error al representar (error de sintaxis): A^{±}=<E∙''p''+B∙''m''>=\frac{\omega}{2}Im(E´*∙p'+B´*∙m')

Donde el asterisco implica el conjugado de dicho número complejo, las letras en cursiva implican la derivada respecto al tiempo y el signo ± representa la dirección de giro de la LCP (+ si es a la izquierdaq y - es a la derecha).

Usando las ecuaciones del momento dipolar eléctrico, magnético y desarrollando el álgebra, se puede llegar a:

Error al representar (error de sintaxis): A^{±}=\frac{\omega}{2}(\alpha''ǀEǀ^{2}+χ''ǀBǀ^{2})±G'' \omega Im(E'*∙B')

los valores biprimados son de la forma: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a''=Im(a')

En general, el valor de χes muy pequeño a comparación de la mayoría de las moléculas así que puede descartarse. Por otro lado, existe la identidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega Im(E'*∙B')=''B''∙E-''E''∙B y como las variables en cursiva son derivadas parciales respecto al tiempo, usamos las ecuaciones de Maxwell para poder reescribir dicha expresión de la siguiente forma:

Error al representar (error de sintaxis): A^{±}=\frac{2}{ϵ_0}(\omega U_e\alpha ''∓CG'')<math> Donde: <math>U_e=\frac{ϵ_0}{4}ǀEǀ^{2} que el promedio temporal de la densidad de energía electríca.

Para una onda plana monocromática, el factor de desimetría está definido por:

$g={\frac {A^{+}-A^{-}}{A^{+}+A^{-}}}$

Donde Error al representar (error de sintaxis): A^{±} es la taza de absorción para cualquier par de ondas electromagnéticas con paridades intercambiadas. Sustituyendo la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A^{±} que se acaba de encontrar en g, tenemos:

$g=-{\frac {G''}{\alpha ''}}{\frac {2C}{\omega U_{e}}}$

Este resultado nos muestra que la taza de excitación de una molécula pequeña es proporcional al producto de la quiralidad de la materia (primer fracción) y la quiralidad del campo EM (el término C).

Todo esto es para un material que no tiene alguna fuente o sumidero de quiralidad óptica, sin embargo, como un pequeño paréntesis, se puede ver que materiales tipo "Material currents" funcionan como fuente o sumidero. asi que tomando la derivada respecto al tiempo de C y usando las ecuaciones de Maxwell, tenemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{dC}{dt}=\frac{∂C}{∂t}+\frac{1}{\mu_0}∇×F=-\frac{1}{2}(j∙∇×E+E∙∇×j)

Donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): F≡\frac{E×(∇×B)-B×(∇×E)}{2}

Que representa el flujo de quiralidad y podemos notar que tiene la misma estructura que el teorema del vector de Pointing, asi es como se deduce que el vector de Pointing

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): S=E×B

y la cantidad

Error al representar (error de sintaxis): j∙E

describe cómo estos materiales actúan como fuente o sumidero.

Regresando a la LCP, esta mejorada asimetría quiral tiene la información de los nodos de la onda estacionaria y las moléculas pequeñas que estén localizadas en estas regiones se predice que mostrarán una mejora en la asimetría quiral en su taza de excitación. Como se sabe, una onda estacionaria está construída a partir de dos ondas que se contraponen y que tengan sentidos opuestos, misma frecuencia y un cambio pequeño entre sus intensidades.

Sea $E_{1}$ un campo eléctrico de una LCP en sentido izquierdo, que se mueve dederecha a izquierda, mientras que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_2 es el campo eléctrico de ootra LCP en sentido derecho propagandose de izquierda a derecha, y se asume que $E_{1}$ es ligeramente mayor que $E_{2}$. Como se sabe, estas dos ondas genererán una interferencia entre los haces de luz, mientras que su densidad de energía está dada por:

Error al representar (error de sintaxis): U_e(z)=\frac{ϵ_0}{2}[E_1^{2}+E_2^{2}-2E_1E_2cos(2kz)]

donde claramente, el mínimo de la energía es cuando $cos(2kz)=-1$. Por tanto, la densidad de energía mínima es:

Error al representar (error de sintaxis): U_{e min}=\frac{ϵ_0}{2}[E_1-E_2]^{2}

Con esto y con las definiciones anteriores, se puede mostrar que el grado de asimetría quiral está dada por:

$C(z)=\omega \epsilon _{0}{\frac {(E_{1}^{2}-E_{2}^{2}}{c}})$ que es independiente de la posició. Entonces el valor de g será:

$g=-{\frac {G''}{\alpha ''}}{\frac {2C(z)}{\omega U_{emin}}}$

Y sustituyendo los valores encontrados, se llega a que:

$g_{max}={\frac {-4G''}{c\alpha ''}}{\frac {E_{1}+E_{2}}{E_{1}-E_{2}}}$

El valor de g es máximo ya que como el valor de la densidad de energía era mínimo, y por propiedad elemental de una fracción, si el denominador es menor, el resultado será mayor.

Es fácil ver que cuando las energías van teniendo casi la misma intensidad, la taza de asimetría aumenta mucho. Esto se le conoce como onda estacionaria superquiral. La presente teoría está limitada a efectos quirales donde el campo EM no es tan intenso, es decir, el material responde linealmente con dicho campo. Otro detalle a tomar en cuenta que se deberá contemplar los momentos cuadrupolares para moléculas que sean del tamaño aproximadamente de la longitud de onda del campo EM.

Bibliografía

Yiqiao Tang and Adam E. Cohen, Optical quirality and interaction with Matter (Harvard University, Massachusetts, 2010)

--Fernando Valencia Hernández

Introducción

Polarización y sencillez

hay varios tipos de sencillez que son familiares a los estudiantes de óptica. Por ejemplo, la sencillez respecto a la longitud de onda; un haz de luz blanca no es sencillo, pues incluye una gran variedad de longitudes de onda y un prisma puede dispersarlo, separándolo en un abanico de direcciones, cada una de las cuales corresponde a una sola longitud de onda. La sencillez puede ser aún mayor ; un haz puede subdividirse hasta que consista en una sola longitud de onda y una sola forma de polarización.

Fig. 1 Onda Electromagnética. El campo eléctrico (en rojo), del cual depende el fenómeno de la polarización, se mueve linealmente a lo largo del eje $Z$, y el campo magnético (azul) oscila a lo largo del eje $X$, ambos perpendiculares a la dirección de propagación (eje $Y$)

Una de las propiedades físicas de la luz es que puede ser polarizada. Siendo la luz un tipo de radiación electromagnética, posee tanto campo eléctrico como campo magnético; es precisamente su campo eléctrico el que produce el fenómeno de la polarización.

Un hecho notable acerca de las ondas luminosas es que son transversales. Los desplazamientos, de naturaleza electromagnética, no son a lo largo de la línea de propagación, sino perpendiculares a ella. Por ejemplo si la dirección de propagación es hacia el este, las vibraciones eléctricas pueden ser de arriba arriba-abajo, o de norte-sur, o a lo largo de cualquier otra línea perpendicular al eje este-oeste,(Fig.1) oscilando a medida que la luz avanza en el medio o en el vacío. Es debido a esto que a la luz se le considera una onda electromagnética transversal.

La orientación de las oscilaciones del campo eléctrico de la luz en el plano $Xz$ (si se considera al eje $Y$ como el eje de la dirección de propagación) son las que generan el efecto de polarización. Para que la luz sea polarizada, el campo eléctrico debe vibrar principalmente en una dirección.

La mayoría de las fuentes de luz no se encuentran polarizadas, por ejemplo la luz natural, llamada así porque es la proveniente del sol, tiene todas las polarizaciones, esto quiere decir que a todo tiempo la suma de sus vectores de campo eléctrico tienen una cierta magnitud y sentido, la cual no tiene relación con cualquier otra polarización en cualquier tiempo o bien la polarización es aleatoria. Se puede hablar de luz no polarizada cuando ésta no es estrictamente monocromática y no es posible determinar si está polarizada o no. Es en el caso de la luz no polarizada donde no todos los átomos emiten luz en el mismo estado de polarización, por lo que el vector campo eléctrico vibra en todas las direcciones, cancelando el efecto de polarización.

Luz no Polarizada: Representación de cada una de las polarizaciones, la suma de todas ellas dará como resultado una polarización neta

Luz Linealmente Polarizada

Fig. 3 Polarización Lineal

Se dice que la luz es linealmente polarizada (o polarizada plana) cuando la componente-x y la componente-y del vector del campo eléctrico se encuentran en fase. Si pudiéramos observar las oscilaciones del campo eléctrico en un haz de luz linealmente polarizada, viniendo de frente (saliendo de la pantalla), entonces el movimiento descrito sería lineal, o una recta.

Tomando el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): XZ como referencia, podemos considerar a las vibraciones del campo eléctrico ($\mathbf {E}$) en ese plano como una onda armónica simple, la cuál se propaga a lo largo de $Z$. El campo eléctrico va a oscilar en $X$ perpendicularmente a $Z$, a determinada frecuencia.

Análogamente, tomando el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): YZ como referencia, se consideran de igual forma las vibraciones del campo eléctrico en ese plano como una onda armónica simple, que también se propaga a lo largo de $Z$, y cuyas oscilaciones se darán en $Y$ perpendicularmente a $Z$.

Ambas ondas, matemáticamente, pueden se descritas por las siguientes ecuaciones.

${\vec {\mathbf {E} }}_{x}(z,t)={\hat {i}}E_{0x}cos(kz-\omega t)\qquad (1)$

${\vec {\mathbf {E} }}_{y}(z,t)={\hat {j}}E_{0y}cos(kz-\omega t+\varepsilon )\qquad (2)$.

En estas expresiones, $\varepsilon$ es la diferencia de fase entre las ondas, las cuales viajan en dirección de $Z$. La amplitud de estas ondas puede ser diferente, y esta diferencia únicamente determina la dirección de la línea recta , en el caso que las amplitudes de campo sean iguales el anulo pormado sera de ${\frac {\pi }{4}}$(o qué tanto se inclina en el plano $XY$) que traza el vector del campo eléctrico mientras se propaga.

Fig. 4 Representación de la luz (linealmente polarizada), propagándose a lo largo del eje-z, como la suma (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E_r ) de dos ondas co-propagantes y ortogonales entre sí: una donde el campo eléctrico oscila a lo largo del eje-x ($E_{x}$), y la otra a lo largo del eje-y ($E_{y}$). La fase (o retraso) entre las dos ondas es $\varepsilon$=0, por lo que el desplazamiento espacial entre ambas ($\varepsilon \lambda /2\pi$) es también cero.

Hablando del campo eléctrico como una perturbación óptica, la suma vectorial de sus componentes produce un ${\vec {\mathbf {E} }}$ resultante.

${\vec {\mathbf {E} }}(z,t)={\vec {E}}_{x}(z,t)+{\vec {E}}_{y}(z,t)\qquad (3)$

Si $\varepsilon$ es cero, o un múltiplo entero de $\pm 2\pi$, ambas componentes se dicen que se encuentran en fase. En ese caso, la suma vectorial de ambas sería.

${\vec {\mathbf {E} }}=({\hat {i}}{\vec {E}}_{0x}+{\hat {j}}{\vec {E}}_{0x})cos(kz-\omega t)\qquad (4)$

Es la superposición de las ondas ${\vec {E}}_{x}$ y ${\vec {E}}_{y}$ (en fase) que resulta en la ecuación (4), con una amplitud fija igual a $({\hat {i}}{\vec {E}}_{0x}+{\hat {j}}{\vec {E}}_{0x})$, lo cuál significa que la suma de ambas genera otra onda que también es linealmente polarizada.

Las magnitudes relativas de las componentes determinarán la orientación de la polarización, es decir:

$\tan \gamma ={\frac {E_{0y}}{E_{0x}}}$

Polarización Lineal. La onda viaja a través de Z, mientras el campo eléctrico oscila linealmente con una inclinación de 45° en el plano $''XY''$

Luz Circularmente Polarizada

Fig. 5 Polarización Circular

Cuando la luz es linealmente polarizada y se encuentran desfasadas por 90°, y cuando la amplitud de ambas es exactamente la misma,hablamos de polarización circular. En este caso, si pudiéramos observar las oscilaciones del campo eléctrico en un haz de luz linealmente polarizada, viniendo de frente (saliendo de la pantalla), entonces el movimiento descrito sería circular.

Bajo esta definición, las ondas en el eje-x y el eje-y que describen a este tipo de polarización pueden representarse matemáticamente por las siguientes ecuaciones

${\vec {\mathbf {E} }}_{x}(z,t)={\hat {i}}E_{0}cos(kz-\omega t)\qquad (5)$

${\vec {\mathbf {E} }}_{y}(z,t)={\hat {j}}E_{0}sen(kz-\omega t)\qquad (6)$

Donde la amplitud de $\displaystyle {{\vec {E}}_{x}}$ y $\displaystyle {{\vec {E}}_{y}}$ es la misma ($\displaystyle {E_{0x}=E_{0y}=E_{0}}$). Por el desfase de 90°, la componente del campo eléctrico en el eje-y cambia de $\displaystyle {E_{0}cos(kz-\omega t+\varepsilon )}$ a $\displaystyle {E_{0}sen(kz-\omega t)}$, por lo que la fase $\varepsilon$ debe ser equivalente a $\varepsilon =-{\frac {\pi }{2}}+2m\pi$ (con $m=0,\pm 1,\pm 2$,...).

Luego, la suma vectorial de las componentes en el eje-x ($\displaystyle {{\vec {E}}_{x}}$) y el eje-y ($\displaystyle {{\vec {E}}_{y}}$) es:

${\vec {\mathbf {E} }}=E_{0}[{\hat {i}}cos(kz-\omega t)+{\hat {j}}sen(kz-\omega t)]\qquad (7)$

La polarización circular puede presentarse como polarización circular derecha y polarización circular izquierda. Los nombres sólo hacen referencia a la dirección en la que el campo eléctrico rota mientras la onda se propaga (dextrógiro, hacia la derecha es en sentido de las manecillas del reloj y levógiro hacia la izquierda en sentido opuesto a las manecillas del reloj).

Una forma de representar la polarización circular derecha es haciendo $t=0$, a un valor arbitrario $z=z_{0}$. En este caso, el vector del campo eléctrico quedaría en un eje de referencia situado en el primer cuadrante del plano $xy$, por lo que las componentes en el eje-x y en el eje-y quedarían así:

${\vec {\mathbf {E} }}_{x}={\hat {i}}E_{0}cos(kz_{0})\qquad (8)$

${\vec {\mathbf {E} }}_{y}={\hat {i}}E_{0}sen(kz_{0})\qquad (9)$

Fig. 5 Representación de la luz (circularmente polarizada), propagándose a lo largo del eje-z, como la suma ($E_{r}$) de dos ondas co-propagantes y ortogonales entre sí: una donde el campo eléctrico oscila a lo largo del eje-x ($E_{x}$), y la otra a lo largo del eje-y ($E_{y}$). La fase (o retraso) entre las dos ondas es $\varepsilon =\pi /2$, por lo que el desplazamiento espacial entre ambas ($\varepsilon \lambda /2\pi$) se representa en el gráfico.

Si avanzamos en el tiempo de tal forma que ahora $t=kz_{0}/\omega$, obtenemos que ${\vec {E}}_{x}={\hat {i}}E_{0}$ y ${\vec {E}}_{y}=0$. Con esto podemos deducir que del eje de referencia, el campo eléctrico rotó de tal forma que ahora se encuentra sobre el eje-x, por lo que su dirección de rotación fue en sentido de las manecillas del reloj.

Para representar su caso opuesto (polarización circular izquierda), basta con tener una onda cuya ecuación corresponda a:

${\vec {\mathbf {E} }}=E_{0}[{\hat {i}}cos(kz-\omega t)-{\hat {j}}sen(kz-\omega t)]\qquad (10)$

donde el signo negativo en el eje-y, a una fase de $\varepsilon =-{\frac {\pi }{2}}+2m\pi$ (con $m=0,\pm 1,\pm 2$,...), genera una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Si sumamos las ecuaciones de polarización circular izquierda (10) y polarización circular derecha (7), podemos obtener una ecuación que representaría una onda linealmente polarizada:

${\vec {\mathbf {E} }}=2E_{0}{\hat {i}}cos(kz-\omega t)\qquad (7b)$

Luz Elípticamente Polarizada

Fig. 6 Polarización Elíptica

La polarización elíptica se presenta cuando las componentes $\textstyle {E_{x}}$ y $\textstyle {E_{y}}$ se encuentran desfasadas un valor $\varepsilon$ arbitrario, y a su vez presentan una amplitud arbitraria.

$E_{x}(z,t)=E_{0x}\cos(kz-\omega t)$

$E_{y}(z,t)=E_{0y}\cos(kz-\omega t+\epsilon )$

Para encontrar una ecuación independiente del espacio y del tiempo (kz-ωt). Se busca el cociente ${\frac {E_{y}}{E_{0y}}}$ y ocupando la propiedad para el coseno:

Error al representar (error de sintaxis): \frac{E _{y}}{E_{0y}} = \cos(kz − \omega t)\cos \epsilon − \sin(kz − \omega t)\sin \epsilon

ahora sustituyendo Error al representar (error de sintaxis): \frac{E_{x}}{E_{0X}} = \cos(kz − \omega t ) se tiene.

Error al representar (error de sintaxis): \frac{E_{y}}{E_{oy}} − \frac{E_{x}}{E_{0x}} \cos \epsilon = −\sin(kz − \omega t)\sin \epsilon

Con un poco de algebra y elevandoal cuadrado se obtiene.

${\left({\frac {{E}_{y}}{{E}_{oy}}}-{\frac {{E}_{x}}{{E}_{ox}}}cos\varepsilon \right)}^{2}=\left(1-{\left({\frac {{E}_{x}}{{E}_{ox}}}\right)}^{2}\right){sin\epsilon }^{2}$

$({\frac {E_{y}}{E_{0y}}})^{2}+({\frac {E_{x}}{E_{0x}}})^{2}\cos ^{2}\epsilon -2({\frac {E_{y}}{E_{0y}}})({\frac {E_{x}}{E_{0x}}})\cos \epsilon =[1-({\frac {E_{x}}{E_{0x}}})^{2}]\sin ^{2}\epsilon$

Utilizando la identidad Error al representar (error de sintaxis): \sin^{2}\epsilon = 1 − \cos^{2}\epsilon

$({\frac {E_{y}}{E_{0y}}})^{2}+({\frac {E_{x}}{E_{0x}}})^{2}-2({\frac {E_{y}}{E_{0y}}})({\frac {E_{x}}{E_{0x}}})\cos \epsilon =\sin ^{2}\epsilon$

Aqui $\epsilon$ es la diferencia de fase relativa entre las ondas.

Si se puede considerar "arbitrario" como cualquier valor, entonces se pueden presentar los casos donde $\varepsilon =0$, $\varepsilon =\pi /2$ (o múltiplos enteros de éste), así como cuando la amplitud de las componentes sea la misma. Es por esto que a la polarización lineal y polarización circular se les considera casos especiales de polarización elíptica, a pesar de que éstos no manifiesten estrictamente un movimiento elíptico.

En este caso, si pudiéramos observar las oscilaciones del campo eléctrico en un haz de luz linealmente polarizada, viniendo de frente (saliendo de la pantalla), entonces el movimiento descrito sería en la mayoría de los casos elíptico.

Polarizadores dicroicos.

El artefacto que divide la luz no polarizada en dos componentes y descarta una, se llama polarizador. Si el proceso para separar es imperfecto, de modo que una fracción de la componente que no se desea, no se descarta, el polarizador se llama parcial. Existen muchos tipos de polarizadores que se pueden usar en muchos procesos de óptica: absorción, reflexión, refracción, o dispersión cualquiera de estos puede usarse para resolver un haz en componentes polarizadas. La clave para el proceso de polarización es la asimetría ( por ejemplo la asimetría estructural interna del polarizador, la asimetría, oblicuidad, de la armadura del polarizador o la asimetría de la dirección de visión relativa a la dirección de incidencia del haz, asimetría de en la absorción o dricroísmo.

El Polarizador de rejilla de alambre

Este aparato consta de un conjunto de finos alambres colocados paralelamente, siendo los alambres metálicos de gran conductividad para los campos eléctricos paralelos a ellos. Tales campos producen corrientes eléctricas en los alambres de forma que su energía se invierte en calor, debido a la pequeña pero significativa, resistencia eléctrica de los alambres. Sin embargo, debido a que en los espacios entre los alambres no hay conducción, no hay flujo de corriente perpendicular a ellos. Así, pues, los campos eléctricos perpendiculares a los alambres no producen corrientes ni pierden energía. Entonces, el colocar la rejilla de alambre frente a un haz no polarizado se disipa la energía de una de las componentes y permite la otra pasar casi sin disminución.

Rejilla de luz polarizada.

La Lámina H

Son largas y delgadas cadenas de Yodo, absorben las vibraciones eléctricas paralelas a su eje de alineación y transmiten libremente las vibraciones perpendiculares. Así el eje de transmisión es perpendicular a la dirección del estiramiento.En condiciones ideales se transmite el cincuenta por ciento de la potencia de un haz incidente. La componente de$E$ en una onda incidente, que es paralela a las moléculas, impulsa a los electrones, hace trabajo sobre ellos, y es fuertemente absorbida La hoja H es un polarizador muy efectivo sobre todo en el espectro visible pero es algo menos en el extremo azul. Cuando se observa una luz blanca brillante a través de un par de hojas H polaroides cruzadas, el color de extinción será un color azul profundo como resultado de esta fuga.

Lamina H.

Polarizadores de reflexión:

Casi cualquier objeto pulido, no metálico tiende a polarizar a luz que choca oblicuamente. Uno de los polarizadores de reflexión más sencillos es una placa de vidrio montada oblicuamente en el haz de luz dado. Cuando se monta la placa perpendicular al haz no hay polarización; todas las componentes de la luz se transmiten ( cerca del 92% por lo general) y el haz transmitido esta no polarizado. Cerca del 8 % se refleja y también es no polarizada.

Pero cuando la placa está inclinada, de modo que la asimetría del proceso de reflexión queda destruida, suceden cosas interesantes . El haz transmitido se halla parcialmente polarizado y el haz reflejado aún más.Las formas de polarización de los dos haces son ortogonales

Como se ve en la figura, para un caso particular, el caso en el que haz B1 incide a 56.3° de la normal en una placa de vidrio cuyo índice de reflexión es 1.5 . se supondrá en primer lugar que el haz está 100 % polarizado linealmente y que la dirección de vibración eléctrica es paralela al plano del papel. Considérese enseguida al haz refractado B2 que penetra al vidrio y el B3 que está reflejado de la superficie superior. El haz refractado tiene una dirección más inclinada que B1, como lo describe la ley de Snell, y las vibraciones en el haz refractado , B2, son paralelas exactamente a la dirección del haz reflejado, B3. Y esto a su vez , significa que el haz reflejado, B3 no puede existir. No hay tal haz y ninguna energía puede fluir en esa dirección. ¿Por qué? porque , de acuerdo con la teoría electromagnética, la luz necesita una vibración transversal; sin embargo, en el punto en el que empieza la luz entrar al vidrio las vibraciones son exactamente paralelas a la dirección B3 y por tanto, no tiene componente que sea transversal a B3. Finalmente supongase que el haz incidente B1 no esta polarizado. El haz reflejado consta, por tanto, de una segunda componente y tiene una polarización de 100 %. El transmitido también se polariza; por en un grado mucho menor y , por supuesto predomina la dirección de vibración ortogonal. El único ángulo en el que el haz reflejado queda completamente polarizado es el que se conoce como de Brewster o ángulo de polarización. Esto es lo único que se necesita para producir un haz completamente polarizado, Conociendo el índice de refracción, n, de una placa de vidrio, plástico o algún material semejante, y conociendo la ley de Snell se puede calcular el ángulo de polarización; este resulta ser el ángulo cuya tangente es precisamente n, Así, pues, una placa de cloruro de plata n=2, tiene un ángulo de polarización de arco tan 2, o aproximadamente de 63°. El agua tiene un índice de 1.33; por tanto la luz natural que se refleja a un arco tan 1.33, o aproximadamente a 53°, de la superficie de un estanque está completamente polarizada.

Pendiente

Luis Manuel Chávez Antonio

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Introducción

En la siguientes figuras se ilustra una perturbación procedente de la superposición de dos funciones armónicas con diferentes amplitudes y longitudes de onda. Observese que se ha producido un hecho muy curioso: la perturbación compuesta es anarmónica, es decir, no es sinusoidal. Las ondas sinusoidales puras no tiene existencia física real. Este hecho enfatiza el significado practico de las perturbaciones anarmonicas y es la razón de buena parte del interés que despierta en nosotros.

Archivo:Figura 1 Ondas armonicas.gif

Figura 1.Superposición de dos ondas armónicas de diferente frecuencia.

Archivo:Figura 2 onda anarmonica.gif

Figura 2. La onda resultante es periódica pero anarmónica

La figura (1) sugiere que al emplear varias funciones periódicas sinusoidales cuyas amplitudes, longitudes de onda y fases relativas hayan sido juiciosamente seleccionadas, sería posible sintetizar algunos perfiles de onda muy interesantes. Una técnica matemática excepcionalmente bella que lleva precisamente a eso fue diseñada por el físico francés Jean Baptiste Joseph, Barón de Fourier.

Ya se ha afirmado, sin pruebas, que cualquier onda real en el espacio puede construirse a partir de ondas armónicas seleccionadas apropiadamente que tengan las frecuencias espaciales, amplitudes y fases relativas correctas. La técnica que logra esta hazaña se llama análisis de Fourier, y es una de las metodologías más importantes en toda la física teórica. Debido a que el método analítico habitual es matemáticamente un poco oscuro, comenzamos con un enfoque gráfico más intuitivo que hará evidente lo que realmente hace la matemática formal. Los métodos desarrollados se aplican por igual a los eventos espaciales (es decir, los que existen en muchas ubicaciones en el espacio al mismo tiempo, como las ondas en una cuerda) y a los eventos temporales (es decir, los que existen en una ubicación en el espacio en muchos momentos en el tiempo.

Teoría de Fourier

[1]

Jean Baptiste Joseph Baron de Fourier (1768-1830)

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J. B. J. Fourier (1768–1830), matemático aplicado y egiptólogo, fue uno de los grandes científicos franceses que trabajaban en la época de Napoleón. Hoy en día, es mejor recordado por el método de la serie de Fourier, que inventó para la representación de cualquier función periódica como una suma de armónicos sinusoidales discretos de su frecuencia fundamental. Por extrapolación, su nombre también se asocia a transformadas de Fourier o integrales de Fourier, que permiten que casi cualquier función se represente en términos de una integral de funciones sinusoidales en un rango continuo de frecuencias. Los métodos de Fourier tienen aplicaciones en casi todos los campos de la ciencia y la ingeniería. Dado que la óptica se ocupa de los fenómenos de onda, el uso de las series de Fourier y las transformaciones para analizarlos ha sido particularmente fructífero.

Fourier inventó el método de su serie para resolver la ecuación de difusión por calor bajo condiciones de límite especificadas. Esto implicaba expresar el campo de temperatura como la suma de funciones que eran periódicas tanto en el espacio como en el tiempo. Usaremos principalmente la representación espacial, $f(x)$, ya que más adelante necesitaremos extenderla a funciones bidimensionales y tridimensionales. Por supuesto, no hay una diferencia intrínseca entre las matemáticas de las funciones de $x$ y de $t$ , siempre que interpretemos los resultados correctamente y apreciemos el significado de una frecuencia espacial, que es simplemente la inversa de la longitud de onda.

Serie de Fourier

La Serie de Fourier establece que cualquier función periódica $f(x)$ se puede expresar como la suma de una serie de funciones sinusoidales que tienen longitudes de onda que son fracciones integrales de la longitud de onda Error al representar (error de sintaxis): λ de $f(x)$. Para completar esta afirmación, el cero se cuenta como un número entero, dando un término inicial constante a la serie:

$f(x)={\frac {1}{2}}C_{0}+C_{1}cos\left({\frac {2\pi x}{\lambda }}+\alpha _{1}\right)+C_{2}cos\left({\frac {2\pi x}{\frac {\lambda }{2}}}+\alpha _{2}\right)+\cdot \cdot \cdot +C_{m}cos\left({\frac {2\pi x}{\frac {\lambda }{n}}}+\alpha _{m}\right)+\cdot \cdot \cdot$

Donde $f(x)$ es la onda viajera $f(x-vt)$

$f(x)={\frac {1}{2}}C_{0}+C_{1}cos\left(kx+\alpha _{1}\right)+C_{2}cos\left(2kx+\alpha _{2}\right)+\cdot \cdot \cdot +C_{m}cos\left(mkx+\alpha _{m}\right)$

$f(x)={\frac {1}{2}}C_{0}+\sum _{m=1}^{\infty }C_{m}cos\left(mk_{0}x+\alpha _{m}\right)$

Archivo:Figura 3 serie de fourier.png

Figura 3. La intersección entre una onda cuadrada y su serie de Fourier después de (a) la primera, (b) la tercera y (c) el decimoquinto término

donde $k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda }}$ es la frecuencia espacial fundamental. Las ns se denominan órdenes de los términos, que son armónicos. El siguiente argumento demuestra el teorema como razonable. Si cortamos la serie después del primer término, la elección de $C_{0}$ permite que la ecuación se cumpla en un número discreto de puntos, al menos dos por longitud de onda. Si agregamos un segundo término, la cantidad de puntos de acuerdo aumentará; a medida que continuamos agregando términos, se puede hacer que el número de intersecciones entre la función sintética y el original aumente sin límite (Fig.3).

Esto no prueba que las funciones deben ser idénticas cuando el número de términos se vuelve infinito; hay ejemplos que no convergen a la función requerida, pero las regiones de error deben volverse muy pequeñas. Este razonamiento, por supuesto, se aplicaría a funciones básicas distintas de las ondas sinusoidales. Sin embargo, la curva sinusoidal, que es la solución de todas las ecuaciones de onda, es de particular importancia en la física y, por lo tanto, le da al teorema de Fourier su significado fundamental.

Cada término de la serie (Figura 3) tiene dos coeficientes de Fourier, una amplitud $C_{m}$ y un ángulo de fase $(\alpha _{m})$. La última cantidad proporciona el grado de libertad necesario para los desplazamientos relativos de los términos de la serie a lo largo del eje x. La determinación de estas cantidades para cada término de la serie se llama análisis de Fourier. Otra forma de expresar los coeficientes de Fourier es escribir (3) como una suma de términos de seno y coseno.

$f(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }\left[A_{m}cos(mkx)+B_{m}sen(mkx)\right]$

$C_{m}cos\left(mkx+\alpha _{m}\right)=A_{m}cos(mkx)+B_{m}sen(mkx)$

dónde: $A_{m}=C_{m}cos(\alpha _{m}),B_{m}=-C_{m}sen(\alpha _{m})$

Pendiente

Enrique Ortiz Martinez